数学建模:规划模型及其Python求解

前言：看不懂问AI，要注意本文采用的PuLP库是4.0+的最新版，其语法相比旧版本有一些不同，如果在网络上或者AI给出了旧版本的程序，请自行把该库降级运行。

数学建模竞赛中的问题通常可分为预测类与决策类。决策类问题的本质多为优化问题，即在有限资源与技术限制下，通过合理配置决策变量，使某一效益指标达到最大或成本达到最小。以2024年全国大学生数学建模竞赛C题“农作物种植策略”为例，41种作物需分配至34块土地与20个大棚中，需同时满足土地类型限制、轮作禁忌、产量与销售波动、作物替代互补等多重约束，最终目标为实现总收入最大化。此类问题均可抽象为标准的数学规划模型。在实际科研与工业场景中，Python凭借其开源生态、强大的数据处理能力以及与机器学习管线的无缝衔接，已成为优化建模的主流工具。

一、 规划模型的核心概念与数学表达

数学规划的一般形式

设决策变量为 x=(x_1,x_2,…,x_n )^⊤，目标函数为 f(x)，约束条件由等式 h_i (x)=0与不等式 g_j (x)≤0（或 ≥0）构成，可行域为 Ω。规划模型的通用数学表达为：

其中“s.t.”为“subject to”的缩写，表示“受约束于”。

规划模型的分类

根据模型特征，规划问题可进行如下分类：

    按决策变量取值：实数规划、整数规划、0-1规划

    按目标函数数量：单目标规划、多目标规划

    按函数性质：线性规划、非线性规划、二次规划

    按约束存在性：有约束问题、无约束问题

建模三步骤

建立规划模型遵循固定逻辑：

确定决策变量：明确问题中可控制、待优化的未知量。

构建目标函数：将优化目标（利润最大、成本最小、时间最短等）表示为决策变量的函数。

列出约束条件：将资源限制、技术要求、物理规律等转化为等式或不等式。

二、 线性规划建模：以奶制品生产计划为例

当目标函数与所有约束条件均为决策变量的一次函数时，该模型称为线性规划模型。接下来以“加工奶制品的生产计划”为例演示建模过程。

某加工厂每日获得50桶牛奶供应，正式工人劳动时间为480小时。1桶牛奶可在甲类设备加工12小时生产3kg产品A1，或在乙类设备加工8小时生产4kg产品A2。A1利润为24元/kg，A2利润为16元/kg。甲类设备每日最多加工100kg A1，乙类设备无产能限制。求使每日总利润最大的生产计划。

线性规划模型构建

设 x_1为用于生产A1的牛奶桶数，x_2 为用于生产A2的牛奶桶数。

目标函数：总利润 z=24×3x_1+16×4x_2=72x_1+64x_2

约束条件：

    原料约束：x_1+x_2≤50

    工时约束：12x_1+8x_2≤480

    设备产能约束：3x_1≤100

    非负约束：x_1,x_2≥0

综合可得线性规划模型：

Python求解代码实现

PuLP是Python中开源的线性/整数规划建模库，语法贴近数学表达，底层默认调用CBC求解器。要使用PuLP，需要先安装该库，一定要下载尽可能新的版本，本文采用的是4.0.0a3版本。

完整代码如下：

接下来进行逐行逻辑拆解：

import pulp

目的是引入PuLP优化库，PuLP是Python中最流行的线性规划库，用于建立和求解优化问题。导入后才能使用其所有功能

prob = pulp.LpProblem("Milk_Production", pulp.LpMaximize)

目的是创建优化问题对象并指定求解类型，第一个参数是问题名称（可自定义），第二个参数pulp.LpMaximize表示求最大值（若求最小值用pulp.LpMinimize）。这是建模的起点，定义了整个优化问题的框架

x1 = prob.add_variable("x1", lowBound=0, cat="Continuous")

目的是定义决策变量x1并设置约束条件，决策变量是模型中需要求解的未知量。lowBound=0表示x1≥0（非负约束），cat=""Continuous""表示x1是连续变量（可取小数）。在PuLP 4.0+版本中必须通过prob.add_variable()方法创建

x2 = prob.add_variable("x2", lowBound=0, cat="Continuous")

目的是定义决策变量x2并设置约束条件，同x1，定义第二个决策变量。两个变量通常代表不同产品的产量、资源分配量等。非负约束是线性规划的标准要求，因为实际问题中产量不能为负

prob += 72 * x1 + 64 * x2, "Total_Profit"

目的是添加目标函数：最大化总利润，这是优化问题的核心目标。72和64分别是x1和x2的单位利润系数。逗号后面的字符串是目标函数的名称（便于调试）。prob += 表示向问题中添加表达式

prob += x1 + x2 <= 50, "Milk_Supply"

目的是添加约束条件1：原料供应约束，表示x1和x2的总消耗不能超过50单位原料。<= 50是资源上限，""Milk_Supply""是约束名称。实际问题中可能是牛奶、原材料等的供应量限制

prob += 12 * x1 + 8 * x2 <= 480, "Labor_Hours"

目的是添加约束条件2：工时约束，表示生产x1需要12小时/单位，x2需要8小时/单位，总工时不超过480小时。这类约束反映人力资源、机器时间等限制

prob += 3 * x1 <= 100, "Machine_A_Capacity"

目的是添加约束条件3：设备产能约束，表示x1的生产受设备A限制，每单位消耗3小时产能，总产能100小时。实际问题中可能是特定设备、场地的专属限制

prob.solve()

目的是调用求解器求解优化模型，自动选择可用求解器（如CBC、GLPK等）进行计算。这一步执行所有数学运算，寻找满足所有约束条件下使目标函数最优的解

print("求解状态:", pulp.LpStatus[prob.status])

目的是输出求解状态信息，prob.status返回求解结果代码，pulp.LpStatus将其转换为可读文本。常见状态：Optimal（最优解）、Infeasible（无解）、Unbounded（无界）。用于验证模型是否有有效解

print("最优决策: x1 = {:.2f}, x2 = {:.2f}".format(pulp.value(x1), pulp.value(x2)))

目的是输出最优决策变量的值，pulp.value(x1)提取变量x1的最优解。{:.2f}表示保留2位小数。这些值就是使利润最大化的最佳生产方案

print("最大利润: {:.2f} 元".format(pulp.value(prob.objective)))

目的是输出最优目标函数值，prob.objective是目标函数对象，pulp.value()计算其在最优解处的值。这就是在最优决策下能获得的最大利润

根据该代码的运行逻辑，其输出结果应该是：

求解状态: Optimal

最优决策: x1 = 20.00, x2 = 30.00

最大利润: 3360.00 元

因此对于这个牛奶生产问题，其解应该是：

20桶牛奶生产A1，30桶生产A2，利润3360元。

三、 整数规划与0-1规划：以混合泳接力队选拔为例

当决策变量必须取整数或仅限0/1时，需使用整数规划或0-1规划。本文以“混合泳接力队选拔”为例：在一次4×100混合泳接力赛中，甲、乙、丙、丁、戊五人的百米成绩如下表所示：

如何选拔队员组成4×100米混合泳接力队？

0-1规划数学模型构建

设 x_ij∈{0,1}表示队员 i是否参加泳姿 j，c_ij 为对应成绩（秒）：

Python求解实现

接下来进行逐行逻辑拆解（前面讲过的不讲了）：

import numpy as np

目的是引入NumPy数值计算库，用于处理矩阵和数组运算。这里用来存储成绩矩阵，比Python原生列表更高效

c = np.array([[66.8, 75.6, 87.0, 58.6],[57.2, 66.0, 66.4, 53.0],[78.0, 67.8, 84.6, 59.4],[70.0, 74.2, 69.6, 57.2],[67.4, 71.0, 83.8, 62.4]])

目的是创建成绩矩阵（5个队员×4种泳姿），二维数组存储每个队员在各泳姿的成绩。np.array将嵌套列表转换为NumPy数组，支持向量化运算

prob = pulp.LpProblem("Relay_Selection", pulp.LpMinimize)

目的是创建最小化优化问题，pulp.LpMinimize表示求最小值（与线性规划的最大化不同）。接力问题目标是总用时最短

x = {}for i in range(5):for j in range(4):x[(i, j)] = prob.add_variable(f"x_{i}_{j}", lowBound=0, upBound=1, cat='Integer')

目的是定义0-1整数决策变量字典，使用字典存储20个变量（5×4）。lowBound=0，upBound=1，cat='Integer'组合实现0-1变量（只能取0或1），表示"选中/不选中"

prob += pulp.lpSum(c[i][j] * x[(i, j)] for i in range(5) for j in range(4))

目的是添加目标函数：最小化总用时，pulp.lpSum()是PuLP的求和函数，用于高效构建线性表达式。计算所有被选中队员的成绩总和

for i in range(5):prob += pulp.lpSum(x[(i, j)] for j in range(4)) <= 1

目的是添加约束条件组1：每人最多参加一个项目，每个队员的4个变量之和≤1，保证一人最多选一种泳姿。这是指派问题的典型约束

for j in range(4):prob += pulp.lpSum(x[(i, j)] for i in range(5)) == 1

目的是添加约束条件组2：每种泳姿必须恰好1人参加，每种泳姿的5个变量之和=1，保证每种泳姿有且只有1人。等号约束比不等号更严格

row = [int(pulp.value(x[(i, j)])) for j in range(4)]

目的是将最优解转换为0-1整数显示，pulp.value()返回浮点数（如0.999999），int()转换为整数0或1，便于阅读结果

根据该代码的运行逻辑，其输出结果应该是：

选拔方案（1表示入选，0表示未入选）:

队员1: [0, 0, 0, 1]

队员2: [1, 0, 0, 0]

队员3: [0, 1, 0, 0]

队员4: [0, 0, 1, 0]

队员5: [0, 0, 0, 0]

接力队最短总用时: 253.20 秒

因此对于这个混合泳接力队选拔问题，其解应该是：

甲报名自由泳，乙报名蝶泳，丙报名仰泳，丁报名蛙泳，戊不报名。

四、 常见的规划模型

问题1：运输问题

设某种物资共有 m个产地 A_1,A_2,…,A_m，各产地的产量分别是 a_1,a_2,…,a_m；有 n个销地 B_1,B_2,…,B_n，各销地的销量分别为 b_1,b_2,…,b_n。假定从产地 A_i  (i=1,2,…,m)向销地 B_j  (j=1,2,…,n)运输单位物资的运价是 c_ij，问怎样调运才能使总运费最小？

    产销平衡问题

1. 产销不平衡问题

1.    供大于求
2. 

        供不应求

问题2：生产组织与计划问题

工厂用 m种设备 A_1,A_2,…,A_m生产 n种产品 B_1,B_2,…,B_n。在一个生产周期内，已知第 i台设备 A_i只能工作 a_i个机时。工厂必须完成产品 B_j至少 b_j件，设备 A_i生产产品 B_j所需要的机时和成本分别为 t_ij,c_ij。试建立相应的数学模型，使设备能在计划周期内完成计划但又使成本达到最低。

问题3：工厂选址问题

设有 n个需求点（城市、仓库、商店等），有 m个可供选择的建厂地址，每个地址最多可建一个工厂。在 i地址建立工厂的生产能力为 D_i，在 i地址经营工厂的单位时间固定成本为 a_i，需求点 j的需求量为 b_j，从厂址 i到需求点 j的单位运费为 c_ij。问应如何选择厂址和安排运输计划，使相应的成本最小。

其中 y_i为0-1决策变量：

此类模型称为混合整数线性规划。

问题4：设备购置和安装问题

工厂需要 m种设备 A_1,A_2,…,A_m，设备 A_i的单价为 p_i，工厂已有第 i种设备 a_i台。现有资金 M元可用于购置这些设备。该厂有 n处可安装这些设备，B_j 处最多可安装 b_j台。将一台设备 A_i安装在 B_j处的经济效益为 c_ij元。问应如何购置和安装这些设备，才能使总的经济效益最高。

问题5：货郎问题（旅行商问题，TSP）

货郎要到 n个地方去卖货。已知两个地方 A_i和 A_j之间的距离为 d_ij。如何选择一条道路，使得货郎每个地方走一遍后回到起点，且所走的路径最短。

定义 0-1变量：

则相应的模型为（其中 ∣S∣表示集合 S中元素的总数）：