我的Python100天打卡:67/100 Numpy线性代数练习题
- 2026-10-11 08:39:36
我的Python100天打卡:67/100 Numpy线性代数练习题
挑战100天持续练习Python 今天是第67天 ---
-- Q1：要解决“列向量的模、单位向量、内积、夹角 + 格拉姆矩阵关联”，需紧扣线性代数基本定义和格拉姆矩阵的定义（G = X的T次方 · X，其中 X是数据矩阵） 由于这里学习的是Python代码，因此均以代码为回答重点，不过多涉及数学公式等知识点。 1. 求列向量的模： 因为列向量是数组X的每一列，而“模”是L2范数（具体见这篇笔记关于向量运算的部分），所以用如下代码进行求解： 2. 求列向量的单位向量： 数学公式为：“向量/模长” 代码： 3. 求两两内积：就是求两个向量的点积，而特殊的点积就是“格拉姆矩阵”（格拉姆矩阵 代码： 4.求两两夹角：由内积公式推导，cosθ = (内积) / (模长i × 模长j)，再通过 np.arccos计算弧度和角度 代码： -- Q2：计算格拉姆矩阵 G的第2行第3列元素 格拉姆矩阵 G = X.T @ X的 (i,j)元素是第 i列与第 j列的内积。因此，第2行第3列元素（Python 索引 [1,2]）等价于第2列与第3列的内积。 代码： -- Q3：格拉姆矩阵做 Cholesky 分解并解释报错原因 1️⃣Cholesky 分解要求矩阵是 正定+对称矩阵（实对称且所有特征值 > 0） 2️⃣格拉姆矩阵 G = X.T @ X是 半正定+对称矩阵（对任意向量 z，z.T G z = ||Xz||² ≥ 0） 3️⃣若X列不满秩（如特征维度 > 样本数，或列线性相关），G存在零特征值，不满足 Cholesky 分解的“正定”要求，因此会报错。 -- Q4：对格拉姆矩阵做特征值分解，对比图17.11的特征值 看起来很唬人，但作为一个优秀的调包侠，这就是一个调用工具的事～ -- Q5：对格拉姆矩阵做特征值分解，对比图17.11的奇异值 --- 让AI帮忙整理了这几道题的代码： --- 那么今天就到这里吧！ 明天进行第十八章的学习！吼吼吼 #鸢尾花数学大系
上次笔记，完成了第十七章Numpy关于几个常见的矩阵分解的知识，包括：Cholesky分解、特征值分解（EVD）、奇异值分解（SVD）。
今天的学习内容，做一下书本提供的练习题。
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练习：
norms = [np.linalg.norm(col, ord=2) for col in cols] units = [col / norm for col, norm in zip(cols, norms)] G = X.T @ X的 (i,j)元素恰好是第 i列与第 j列的内积）inner_prods = np.zeros((4, 4))for i in range(4):for j in range(4):inner_prods[i, j] = np.dot(cols[i], cols[j])
angles_rad = np.zeros((4, 4))for i in range(4):for j in range(4):if norms[i] * norms[j] == 0:angles_rad[i, j] = 0 # 避免除以0（实际数据无此情况）else:angles_rad[i, j] = np.arccos(inner_prods[i, j] / (norms[i] * norms[j]))angles_deg = np.rad2deg(angles_rad)
# 第一种解法# 直接计算第2列（索引1）与第3列（索引2）的内积g_23 = np.dot(X[:, 1], X[:, 2])print("G的第2行第3列元素：", g_23)# 第二种解法：# 通过格拉姆矩阵计算# 无需手动遍历，直接用点积即可。G = X.T @ Xprint("通过G直接取值：", G[1, 2])
# 计算特征值分解eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(G)
# 计算奇异值分解U, S, VT = np.linalg.svd(A)
import numpy as npfrom sklearn.datasets import load_irisimport matplotlib.pyplot as plt# 1. 加载鸢尾花数据iris = load_iris()X = iris.data # 形状: (150, 4)# 2. 计算格拉姆矩阵（图17.6(a)）G = X.T @ Xprint("格拉姆矩阵 G 的形状:", G.shape)print("\n格拉姆矩阵 G 的前几行前几列:")print(G[:4, :4])# 3. 对格拉姆矩阵进行特征值分解（Q4要求）eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(G)print("\n格拉姆矩阵的特征值（未排序）:")print(eigenvalues)print("\n特征值之和（等于G的迹）:", np.sum(eigenvalues))# 4. 对X进行奇异值分解（Q5要求）U, S, VT = np.linalg.svd(X, full_matrices=False)print("\nX的奇异值 S:")print(S)print("\n奇异值的平方 S²:")print(S**2)# 5. 比较特征值和奇异值平方的关系print("\n" + "="*60)print("特征值与奇异值平方的比较：")for i in range(4):print(f"λ{i+1} = {eigenvalues[i]:.4f}, σ{i+1}² = {S[i]**
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笔记写于：2026年4月21日22:58:30
结束于：2026年4月21日23:45:03
用时：约1小时
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