我的Python100天打卡:69 用爱因斯坦求和约定做数组转置、矩阵乘法
- 2026-07-03 18:23:21
我的Python100天打卡:69 用爱因斯坦求和约定做数组转置、矩阵乘法
挑战100天持续练习Python 今天是第69天
-- 爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention）是一种数学记号，用于简化张量运算中的求和符号。NumPy中的np.einsum函数通过一个字符串公式指定操作，可以替代许多显式循环和特定函数。 
-- 18.3 转置二维、三维数组 - 18.3.1 二维数组转置 1️⃣用np.einsum()来转置二维数组的关键代码，特别简洁。书本中也提到，可以用np.transpose()来进行数组的转置操作。 2️⃣图18.5展示了以上代码的二维数组转置的直观过程，其核心是矩阵的行列互换。 
- 18.3.2 三维数组转置 三维或更高维数组可以自由指定维度的交换顺序。 1️⃣图18.6展现的是三维数组的转置，保持i不变，通过调换维度j和k，完成这两个方向的转置。 也可以这样理解：维度索引从 (i, j, k) 变为 (i, k, j)，相当于在每个“切片”内进行二维转置。 
2️⃣相关代码和注释： 
-- 18.4 矩阵乘法格拉姆矩阵
1️⃣格拉姆矩阵是列向量的内积矩阵，在机器学习中常用于度量特征间的相关性。 2️⃣图18.7展示了计算格拉姆矩阵时维度索引的折叠过程：公共维度i（样本数）被求和（或者说被“压缩”掉了），得到形状为(j,k)的方阵。 
3️⃣图18.8解释了： 1，格拉姆矩阵对角线元素，是每个特征的平方和 2，格拉姆矩阵非对角线元素，是不同特征的内积。 
4️⃣另一种格拉姆矩阵形式是H = X X^T，度量样本之间的相似性： H = np.einsum('ij,kj->ik', X, X) # 等价于 X @ X.T 图18.9展示了计算H的时候，维度j的折叠。 
-- 18.3.3 分类矩阵乘法 1️⃣根据不同类别，分别计算格拉姆矩阵，可以用于分类任务中的度量学习。 2️⃣图18.10展示了考虑类别时，维度索引的复杂组合。
3️⃣代码18.3及其相关注释： 
4️⃣关键代码及通俗解释： 三维转置的关键代码： G_3D = np.einsum('ijk,ijm->ikm', X3D, X3D) ↑ 要说我懂不懂，我肯定是……不懂的！ 于是求助AI编程教练解释： 
--- 心得体会 1. einsum非常强大。用统一的语法，统一的函数，集中处理求和、转置、乘法、张量收缩等操作，直观高效，降低记忆负担。 2. einsum在数据科学和机器学习中的应用：
（1）特征统计：快速计算均值、方差、协方差矩阵 （2）主成分分析：计算协方差矩阵、特征值分解。 （3）神经网络：张量运算（如卷积、注意力机制）常用einsum实现。 （4）物理模拟：处理高阶张量（应力、应变等）的合约运算。 爱因斯坦求和约定初看抽象，但一旦掌握，将成为处理多维数组的利器。它让我们以更接近数学表达的方式编写代码，提高生产力和代码可读性。 #鸢尾花数学大系
上次笔记，完成了第十八章Numpy关于爱因斯坦求和约定的基础学习。这是一个极其强大且简洁的工具，可以用一种统一的语法完成数组的求和、转置、乘法等操作，可理解为线性代数与张量运算的瑞士军刀。
今天的学习内容，继续深入探索Numpy的“爱因斯坦求和约定”，包括：
18.3 二维、三维数组转置
18.4 矩阵乘法（格拉姆矩阵、分类矩阵乘法）
# 代码18.1 利用爱因斯坦求和约定求和import numpy as npfrom sklearn.datasets import load_iris# 加载鸢尾花数据集iris = load_iris()X = iris.data # 形状 (150, 4)y = iris.target# 每一列求和：等价于 np.sum(X, axis=0)col_sum = np.einsum('ij->j', X)# 字符串'ij->j'含义：# - 输入X有两个维度：i（行）、j（列）# - 输出只保留j维度，对i维度求和（压缩i）# - 结果是一维数组，长度为4（列数）# 每一行求和：等价于 np.sum(X, axis=1)row_sum = np.einsum('ij->i', X)# 'ij->i'：压缩j维度，保留i维度# 所有元素求和：等价于 np.sum(X, axis=(0,1)) 或 np.sum(X)total_sum = np.einsum('ij->', X)# 'ij->'：压缩所有维度，输出标量图示辅助理解
# 代码18.2 利用爱因斯坦求和约定完成转置# 二维数组转置：等价于 X.T 或 np.transpose(X)X_T = np.einsum('ij->ji', X)# 'ij->ji'：调换输入的两个维度索引
# 首先创建一个三维数组，例如将三类鸢尾花数据堆叠X_setosa = X[y == 0] # 第一类样本X_versicolor = X[y == 1]X_virginica = X[y == 2]X_3d = np.stack([X_setosa, X_versicolor, X_virginica]) # 形状 (3, 50, 4)# 三维数组转置：保持第一个维度不变，交换后两个维度X_transposed = np.einsum('ijk->ikj', X_3d)# 等价于 np.transpose(X_3d, (0, 2, 1))
# 计算格拉姆矩阵 G = X^T XG = np.einsum('ij,ik->jk', X, X)# 等价于 X.T @ X# 字符串'ij,ik->jk'含义：# - 第一个输入X维度为(i,j)，第二个输入X维度为(i,k)# - 输出维度为(j,k)，对公共维度i求和
# 假设我们有一个类别标签向量y，想对每个类别分别计算格拉姆矩阵# 这里以三类鸢尾花为例，X_3d形状(3, 50, 4)代表三类样本# 对每个类别切片计算格拉姆矩阵G_per_class = np.einsum('bij,bik->bjk', X_3d, X_3d)# 字符串'bij,bik->bjk'：# - b: 类别维度，i: 样本维度，j/k: 特征维度# - 对每个类别b，计算其内部样本i的格拉姆矩阵# 结果形状(3, 4, 4)，即每个类别一个4x4的格拉姆矩阵
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笔记写于：2026年4月29日13:04:29
结束于：2026年4月29日13:55
用时：约50分钟
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