在上一节中，我们得到了一个重要结论：
参数估计量在大样本下服从近似正态分布
即：
1问题提出
我们已经可以计算点估计，但一个更关键的问题是：
这个估计有多可靠？误差范围是多少？
👉 这就引出了：
区间估计（Interval Estimation）
2核心思想
我们从一个概率陈述出发：
关键变换（推导核心）
对不等式变形：
👉 得到置信区间：
3直觉解释
很多人误解置信区间：
❌ 错误理解：
参数有 95% 概率在区间内
✅ 正确理解：
区间是随机的，参数是固定的
👉 更准确说法：
如果重复采样 100 次
构造 100 个区间
👉 约有 95 个区间包含真实参数
4Python验证（覆盖率）
# file: ci_coverage.py
import numpy as np
defmain():
np.random.seed(0)
true_mu = 10
sigma = 2
n = 30
count = 0
N_sim = 5000
for _ in range(N_sim):
data = np.random.normal(true_mu, sigma, n)
x_bar = np.mean(data)
lower = x_bar - 1.96 * sigma / np.sqrt(n)
upper = x_bar + 1.96 * sigma / np.sqrt(n)
if lower <= true_mu <= upper:
count += 1
print("覆盖率:", count / N_sim)
if __name__ == "__main__":
main()
结果解释
5σ未知：t分布
现实中：
σ 通常未知
此时使用：
👉 置信区间：
6Python验证（t区间）
# file: ci_t_distribution.py
import numpy as np
from scipy import stats
defmain():
np.random.seed(0)
true_mu = 10
n = 20
N_sim = 5000
count = 0
for _ in range(N_sim):
data = np.random.normal(true_mu, 2, n)
x_bar = np.mean(data)
s = np.std(data, ddof=1)
t_val = stats.t.ppf(0.975, df=n-1)
lower = x_bar - t_val * s / np.sqrt(n)
upper = x_bar + t_val * s / np.sqrt(n)
if lower <= true_mu <= upper:
count += 1
print("覆盖率:", count / N_sim)
if __name__ == "__main__":
main()
执行结果如下：
7区间宽度分析（工程重点）
区间长度：
# file: ci_width.py
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
defmain():
np.random.seed(0)
sizes = [10, 20, 50, 100, 200]
widths = []
for n in sizes:
width = 2 * 1.96 * 2 / np.sqrt(n)
widths.append(width)
plt.plot(sizes, widths, marker='o')
plt.title("CI Width vs n")
plt.show()
if __name__ == "__main__":
main()
结果解释
8工程意义
置信区间用于：
9本节总结
10下期预告
下一讲进入统计决策核心：
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