我的Python100天打卡:64/100
- 2026-04-20 19:47:47
上次笔记，完成了第十七章Numpy关于向量化运算的知识。
今天的学习内容，继续深入探索“向量运算”的知识点，不求学多，但求学深、学精细、学入脑。
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温故知新：
⬆️视频强调：线性代数真的很有用；在学习这章内容时，遇到不懂的线性代数知识，可以稍微跳过，但对于人工智能，线性代数是无法越过的一道坎，作者非常建议我们及早掌握线性代数。
17.2 拆解矩阵
1. 核心代码：行向量的拆分（双括号），X[[ 1 - 1], :]
2. 单括号和双括号的数据结构区别：
3. 既然有行向量的提取，那么同样可以得到列向量的提取：都有双括号，把切片的位置改一改：X[ :, [ 1 - 1 ]] (也可以写成下面的形式，反正本质理解了就行)
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提取列向量的话，和行向量不同。具体有什么不同呢？
以例子的鸢尾花数据为例，切一行，每一行有四个元素，相当于把面包打横切。
切一列，每一列有150个元素，相当于把面包打竖切，每个“片”都是长长长的一条（下图只是截取，实际上非常长的）。
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继续温故知新：
17.3 向量运算（向量范数/模，单位向量，向量内积，向量夹角）
1. 从几何角度，再次看“向量”
上次笔记，我也利用过ai帮助理解，但因为只是简单问了ai，没有过脑子，所以转眼就忘记了😂。
这次，再次搬出“太奶奶”，让ai解释向量内积，以及它相关的术语：
①现实物体（花） → ②抽象为向量（特征列表）→ ③求模长知其大小 →④ 化为单位向量以聚焦纯方向/形状 → ⑤通过内积计算单位向量间的余弦相似度 → ⑥向量化批量生成所有相似度（格拉姆矩阵）。
进一步通俗解释向量：
心中有数，谓之向量：把事物拆成几个维度的数，有序地放一起，就是向量思维。
提纲挈领，谓之模长：不管细节多复杂，抓住主要矛盾，算个总长度，就知道大体量级。
去伪存真，谓之单位化：去掉大小规模的干扰，只留下最纯粹的方向本质，才好比“芯子”。
志同道合，谓之内积：方向越一致，内积值越高。是人是花，皆看“志趣”相投否。
批量作业，谓之向量化：一个一个是手艺，一批一批是工业。智慧在策略，力量在批量。
1️⃣向量范数/向量的模
1. 下面是求#向量模 （L2范数，相当于求三角形斜边），以及#单位向量 的代码：
# 代码17.3 计算向量的模，以及单位向量# 求向量的模（L2范数）（类似知道两个直角边，求斜边的长）norm_x_row_1 = np.linalg.norm(x_row_1)norm_x_row_2 = np.linalg.norm(x_row_2)norm_x_row_51 = np.linalg.norm(x_row_51)norm_x_row_101 = np.linalg.norm(x_row_101)print(norm_x_row_1)print(norm_x_row_2)print(norm_x_row_51)print(norm_x_row_101)# 求单位向量（单位向量就是用来）unit_x_row_1 = x_row_1 / norm_x_row_1unit_x_row_2 = x_row_1 / norm_x_row_2unit_x_row_51 = x_row_1 / norm_x_row_51unit_x_row_101 = x_row_1 / norm_x_row_101print(unit_x_row_1)print(unit_x_row_2)print(unit_x_row_51)print(unit_x_row_101)
2. 运行结果：
3. 求单位向量和向量模的意义：
2️⃣求向量内积：
1. 代码：
# 计算向量内积(inner product / scalar product / dot product)# 计算向量内积用numpy.dot()inner_prod_x_row_1_2 = np.dot( x_row_1[0], x_row_2[0])inner_prod_x_row_1_51 = np.dot( x_row_1[0], x_row_51[0])inner_prod_x_row_1_101 = np.dot( x_row_1[0], x_row_101[0])print(inner_prod_x_row_1_2)print(inner_prod_x_row_1_51)print(inner_prod_x_row_1_101)
2. 运行结果：
3. 向量内积结果的意义：
3️⃣求向量夹角：
1. 代码（示例）
dot_product_1_2 = np.dot(unit_x_row_1[0], unit_x_row_2[0])angle_1_2 = np.arccos(dot_product_1_2)#anglein radianangle_1_2 = np.rad2deg(angle_1_2)angle_1_2
2. 运行结果
3. 变式练习：求列夹角
（1）先理解行夹角和列夹角的区别：
（2）参考之前求行夹角的代码，一步步求列夹角：提取列向量（已有x_col_n），随后求（列）向量模、求（列）单位向量，再套用（列）夹角公式：
（3）完整代码如下：
X矩阵有四列，请大家分别计算列向量的模，列向量之间的夹角# 计算列向量的模（L2范数）norm_x_col_1 = np.linalg.norm(x_col_1)norm_x_col_2 = np.linalg.norm(x_col_2)norm_x_col_3 = np.linalg.norm(x_col_3)norm_x_col_4 = np.linalg.norm(x_col_4)# 计算列向量的单位向量unit_x_col_1 = x_col_1 / norm_x_col_1unit_x_col_2 = x_col_2 / norm_x_col_2unit_x_col_3 = x_col_3 / norm_x_col_3unit_x_col_4 = x_col_4 / norm_x_col_4# 计算列向量之间的内积# 注意：列向量是二维数组 (150, 1)，需要展平或转置来计算点积inner_prod_col_1_2 = np.dot(x_col_1.flatten(), x_col_2.flatten())inner_prod_col_1_3 = np.dot(x_col_1.flatten(), x_col_3.flatten())inner_prod_col_1_4 = np.dot(x_col_1.flatten(), x_col_4.flatten())inner_prod_col_2_3 = np.dot(x_col_2.flatten(), x_col_3.flatten())inner_prod_col_2_4 = np.dot(x_col_2.flatten(), x_col_4.flatten())inner_prod_col_3_4 = np.dot(x_col_3.flatten(), x_col_4.flatten())# 计算列向量之间的夹角# 使用单位向量计算点积dot_product_col_1_2 = np.dot(unit_x_col_1.flatten(), unit_x_col_2.flatten())dot_product_col_1_3 = np.dot(unit_x_col_1.flatten(), unit_x_col_3.flatten())dot_product_col_1_4 = np.dot(unit_x_col_1.flatten(), unit_x_col_4.flatten())dot_product_col_2_3 = np.dot(unit_x_col_2.flatten(), unit_x_col_3.flatten())dot_product_col_2_4 = np.dot(unit_x_col_2.flatten(), unit_x_col_4.flatten())dot_product_col_3_4 = np.dot(unit_x_col_3.flatten(), unit_x_col_4.flatten())# 将点积限制在[-1, 1]范围内，防止数值误差导致arccos出错dot_product_col_1_2 = np.clip(dot_product_col_1_2, -1.0, 1.0)dot_product_col_1_3 = np.clip(dot_product_col_1_3, -1.0, 1.0)dot_product_col_1_4 = np.clip(dot_product_col_1_4, -1.0, 1.0)dot_product_col_2_3 = np.clip(dot_product_col_2_3, -1.0, 1.0)dot_product_col_2_4 = np.clip(dot_product_col_2_4, -1.0, 1.0)dot_product_col_3_4 = np.clip(dot_product_col_3_4, -1.0, 1.0)# 计算角度（弧度转角度）angle_col_1_2 = np.rad2deg(np.arccos(dot_product_col_1_2))angle_col_1_3 = np.rad2deg(np.arccos(dot_product_col_1_3))angle_col_1_4 = np.rad2deg(np.arccos(dot_product_col_1_4))angle_col_2_3 = np.rad2deg(np.arccos(dot_product_col_2_3))angle_col_2_4 = np.rad2deg(np.arccos(dot_product_col_2_4))angle_col_3_4 = np.rad2deg(np.arccos(dot_product_col_3_4))# 打印结果print(f"列向量1的模: {norm_x_col_1}")print(f"列向量2的模: {norm_x_col_2}")print(f"列向量3的模: {norm_x_col_3}")print(f"列向量4的模: {norm_x_col_4}")print()print(f"列向量1和2的夹角: {angle_col_1_2:.2f}度")print(f"列向量1和3的夹角: {angle_col_1_3:.2f}度")print(f"列向量1和4的夹角: {angle_col_1_4:.2f}度")print(f"列向量2和3的夹角: {angle_col_2_3:.2f}度")print(f"列向量2和4的夹角: {angle_col_2_4:.2f}度")print(f"列向量3和4的夹角: {angle_col_3_4:.2f}度")
重点：
1. 列向量用了“二维数组”来生成
2. 为了计算正确，需要用.flatten()把二维数组“压扁”成一维数组，就像把一卷画展开，计算起来就方便了。
（4）运行结果：
（5）报错过程修复和列向量夹角用处：
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笔记写于：2026年4月1日18:02:53
结束于：2026年4月1日21:09:58
用时：约3小时（有中断）
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