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我的Python100天打卡:65/100 掰开揉碎去理解格拉姆矩阵 | 矩阵运算

2026-06-28 22:07:40

挑战100天持续练习Python

今天是第65天

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上次笔记，复习了第十七章Numpy线性代数关于矩阵行/列向量拆解的方法；复习了向量运算，包括求向量的模linalg.norm()、单位向量、向量内积np.dot()、向量夹角弧度np.arccos()，角度np.rad2deg()，以及将二维向量“压扁”的方法np.dot(flatten())。

本次笔记将包括以下内容：

17.3 向量化运算、格拉姆矩阵（掰开揉碎详细版）

17.4 矩阵运算

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今天笔记，从一之前有写笔记，但我还没认真展开思考的题开始：

【如果需要计算鸢尾花数据矩阵X，所有行向量之间的两两夹角，又要避免使用for循环，该怎么办？】

可以通过下图的“夹角角度矩阵”来求解。

需要注意的是：左边的矩形矩阵和右边“三角矩阵”实现的功能是完全相同的。右边只是将一些重复的矩阵计算空间省去而已。

但即使只做右边三角矩阵的运算，仍是很大计算量的工程。

如何才能更加快捷的去进行计算呢？就涉及到下面的“向量化运算”思想，以及重要的工具“格拉姆矩阵”了。

17.3 向量化运算、格拉姆矩阵（掰开揉碎详细版）

0. 先给出视频链接，以免后面我自己复习的时候找不到：

【Chapter 17 NumPy线性代数 | 49:09】

https://www.bilibili.com/video/BV1VD421L7Hf/

1. 格拉姆矩阵的本质，还是向量化运算。向量化运算的关键，还是矩阵乘法。（所以我前后几条笔记，都在反反复复记录，绕不过去，本质上就是不理解这三者的关系，有点纠缠，现在把它们的层次关系理清，就清爽多了）

2. 书本提到的关系：矩阵乘法->格拉姆矩阵

作者就很形象，用“啪的一声”把两个表的相乘的动作表现出来了。

学术化一点表述，格拉姆矩阵是这样写的（G = X的T次方 · X）：

（书本作者也说到，实际上本书写到这里，能理解以上意思即可。）

3. 格拉姆矩阵的代码（简略版，只保留核心要素）（详细版的见书本/视频/chapter17文档/上两条笔记）

# 计算格拉姆矩阵G = X.T @ Xfig,axs = plt.subplots(1,5,figsize = (8,3),                        gridspec_kw={'width_ratios': [3, 0.5, 3, 0.5, 3]})plt.sca(axs[0])ax = sns.heatmap(G, cmap = 'RdYlBu_r',                 vmax = 5000, vmin = 0,                 annot = False,                 fmt=".0f",                 cbar_kws = {'orientation':'horizontal'},                 xticklabels = False,                 yticklabels=False,                 square = 'equal')plt.title('$G$')plt.sca(axs[1])plt.title('=')plt.axis('off')# 绘制X转置plt.sca(axs[2])ax = sns.heatmap(X.T, cmap = 'RdYlBu_r',                 vmax = 0, vmin = 8,                 cbar_kws = {'orientation':'horizontal'},                 xticklabels = False,                 yticklabels = False,                 annot=False)plt.title('$X^T$')plt.sca(axs[3])plt.title('@')plt.axis('off')    # 绘制Xplt.sca(axs[4])ax = sns.heatmap(X, cmap = 'RdYlBu_r',                 vmax = 0, vmin = 8,                 cbar_kws = {'orientation':'horizontal'},                 xticklabels = False,                 yticklabels=False,                 annot=False)plt.title('$X$')fig.savefig('Figures/X的格拉姆矩阵.svg', format='svg')

3.1运行结果：

4. 其实还可以有第二个格拉姆矩阵（它们互为“伪逆”或“投影”关系），可以理解为：

4.1 专业描述为：（H = X · X的T次方）（刚好和G的因数调换）

4.2 第二个格拉姆矩阵的代码（简化版）：

# 第二个格拉姆矩阵H = X @ X.Tfig,axs = plt.subplots(1,5,figsize = (8,3),                        gridspec_kw={'width_ratios': [3, 0.5, 3, 0.5, 3]})plt.sca(axs[0])# 绘制格拉姆矩阵ax = sns.heatmap(H, cmap = 'RdYlBu_r',                 vmin = 0,                  vmax = 150,                 annot = False,                 fmt=".0f",                 cbar_kws = {'orientation':'horizontal'},                 xticklabels = False,                 yticklabels=False,                 square = 'equal')plt.title('$H$')plt.sca(axs[1])plt.title('=')plt.axis('off')# 绘制X转置plt.sca(axs[2])ax = sns.heatmap(X, cmap = 'RdYlBu_r',                 vmax = 0, vmin = 8,                 cbar_kws = {'orientation':'horizontal'},                 xticklabels = False,                 yticklabels = False,                 annot=False)plt.title('$X$')plt.sca(axs[3])plt.title('@')plt.axis('off')    # 绘制Xplt.sca(axs[4])ax = sns.heatmap(X.T, cmap = 'RdYlBu_r',                 vmax = 0, vmin = 8,                 cbar_kws = {'orientation':'horizontal'},                 xticklabels = False,                 yticklabels=False,                 annot=False)plt.title('$X^T$')fig.savefig('Figures/XT的格拉姆矩阵.svg', format='svg')

4.3 运行结果：

5. 矩阵的逆

其实有了前面格拉姆矩阵的铺垫，矩阵的逆也很好理解了：

更像是一种“可逆转”的矩阵，在某个方向上“拧一下”，拧为不同的方向，又从正相反的方向“拧回去”，诶，您猜怎么着，居然变回原来的矩阵了！

原本作者的比喻是“啪的一下拍扁”，ai认为不够严谨，因为“拍扁”意味着维度降低（不可逆），而“拧”意味着形变但保持维度（可逆）。

5.1 矩阵的逆的代码

# 计算格拉姆矩阵G的逆矩阵G_inv = np.linalg.inv(G)fig,axs = plt.subplots(1,5,figsize = (8,3),                        gridspec_kw={'width_ratios': [3, 0.5, 3, 0.5, 3]})plt.sca(axs[0])# 绘制格拉姆矩阵ax = sns.heatmap(np.eye(4), cmap = 'RdYlBu_r',                 annot = False,                 fmt=".0f",                 cbar_kws = {'orientation':'horizontal'},                 xticklabels = False,                 yticklabels=False,                 square = 'equal')plt.title('$I$')plt.sca(axs[1])plt.title('=')plt.axis('off')plt.sca(axs[2])ax = sns.heatmap(G, cmap = 'RdYlBu_r',                 cbar_kws = {'orientation':'horizontal'},                 xticklabels = False,                 yticklabels = False,                 annot=False)plt.title('$G$')plt.sca(axs[3])plt.title('@')plt.axis('off')    # 绘制Xplt.sca(axs[4])ax = sns.heatmap(G_inv, cmap = 'RdYlBu_r',                 cbar_kws = {'orientation':'horizontal'},                 xticklabels = False,                 yticklabels=False,                 annot=False)plt.title('$G^{-1}$')fig.savefig('Figures/格拉姆矩阵的逆.svg', format='svg')