Python赋能数学学习2: 抽奖”再来一瓶“,到底买多少瓶才能中一次奖,背后的几何分布奥秘到底是什么

抽奖”再来一瓶“，到底买多少瓶才能中一次奖，背后的几何分布奥秘到底是什么

一、故事内容

小明去商店买饮料，瓶盖上有“再来一瓶”活动。

商家宣传：中奖率 15%。

小明就想：

1. 中一次奖，需要买多少瓶
2. 如果连续买n多瓶，至少中 1 次的概率到底有多大？
3. 用 Python 模拟，多次实验，看看实际情况和理论分析是否一致？

这就是一个典型的概率 + 编程模拟问题。

二、对应的数学知识

1. 单次中奖概率

设每次买 1 瓶，中奖概率为：

不中奖概率为：

2. 买 n 瓶，至少中 1 次的概率

“至少中 1 次”更容易用反面事件计算：

• 反面事件：n 瓶都没中
• 概率：

所以：

例如：

• 买 1 瓶：（15%）
• 买 5 瓶：（约 55.63%）
• 买 10 瓶：（约 80.31%）

3. 平均要买多少瓶才能中 1 次

这是几何分布的期望值：

含义：长期平均来看，大约买 6 到 7 瓶会中 1 次。

注意：

• 这不是说“第 7 瓶一定中”
• 只是大量重复实验后的平均值

三、数学建模

问题分析

1. 输入：中奖率 p（这里是 0.15）
2. 输出：
• 理论上买 n 瓶至少中 1 次的概率
• 单次实验“直到中奖”需要购买的瓶数
• 重复多次实验后的平均购买瓶数

模型步骤

1. 如何模拟中奖率

• 使用 random.random() 生成 [0, 1) 的随机数
• 若随机数 < 0.15，视为中奖

2. 单次循环抽奖，直到中奖

• 设 count = 0
• 循环：每抽一次 count += 1
• 若中奖则停止，返回 count

3. 循环 10 次，统计每次抽奖次数并求平均

• 重复抽单次中奖过程，循环 10 次
• 记录每次所需抽奖次数
• 计算平均值

四、Python 代码实现

import randomdef 抽奖(p=0.15):"""    单次抽奖：返回是否中奖    """return random.random() < pdef 抽到一次奖(p=0.15):"""    单次实验：不断购买，直到第一次中奖    返回购买瓶数    """    count = 0whileTrue:        count += 1if 抽奖(p):return countdef 模拟抽10次(times=10, p=0.15):"""    重复 trials 次“直到中奖”实验    返回每次结果和平均购买瓶数    """    results = []for _ in range(times):        results.append(抽到一次奖(p))    average = sum(results) / len(results)return results, averageif __name__ == "__main__":    p = 0.15    print("=" * 50)    print("再来一瓶中奖率分析")    print("=" * 50)    print("\n一、模拟实验（循环 10 次，每次直到中奖）")    results, avg = 模拟抽10次(times=10, p=p)for i in range(len(results)):        print(f"第 {i+1}次：买了 {results[i]:3d} 瓶才中奖")    print(f"10次平均购买瓶数：{avg:.2f}")    print("\n说明：")    print("- 理想平均中奖间隔 = 6.67 次（理论值）")    print(f"- 模拟实验的结果是 {avg:.2f} 次（平均值）")    print(f" 如果模拟次数无限大的时候，平均值会趋近于理论值 {1/p:.2f} 次")

五、示例输出（每次运行会略有不同）

==================================================再来一瓶中奖率分析==================================================一、模拟实验（循环 10 次，每次直到中奖）第 1次：买了   2 瓶才中奖第 2次：买了   3 瓶才中奖第 3次：买了  17 瓶才中奖第 4次：买了  22 瓶才中奖第 5次：买了  12 瓶才中奖第 6次：买了  14 瓶才中奖第 7次：买了   5 瓶才中奖第 8次：买了  19 瓶才中奖第 9次：买了  14 瓶才中奖第 10次：买了   3 瓶才中奖10次平均购买瓶数：11.10说明：- 理想平均中奖间隔 = 6.67 次（理论值）- 模拟实验的结果是 11.10 次（平均值） 如果模拟次数无限大的时候，平均值会趋近于理论值 6.67 次

六、总结

• 15% 的中奖率意味着平均每 6.67 瓶会中一次奖，但实际情况可能会有较大波动。