2026高考数学全国一卷真题全解（含Python代码实现）
📚 目录
一、选择题（1-8题）
二、多选题（9-11题）
三、填空题（12-14题）
四、解答题（15-19题）
五、参考答案解析与代码
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 样本数据 6, 8, 4, 5, 12 的中位数为
A. 5
B. 6
C. 8
D. 9
2. 已知平面向量 不共线，且 ，则
A.
B.
C.
D.
3. 已知集合 ，，则
A.
B.
C.
D.
4. 曲线 在点 处的切线方程为
A.
B.
C.
D.
5. 已知抛物线 和 均经过点 ，则 的焦点与 的焦点之间的距离为
A. 12
B.
C. 6
D.
6. 已知函数 的最大值为1，则
A.
B. 1
C.
D. 2
7. 一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩。该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第 行中塔的座数记为 ，其中 ，，，且 是一个首项为7、公差为2的等差数列。将 分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为 的等差数列。则
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
8. 设 为空间中64个点构成的集合。点 ，记样本空间 。从 中随机取一个点，定义随机变量 如下：对 中的每个点 ，令 。则 的数学期望为
A.
B.
C. 0
D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 设 ，则
A.
B.
C.
D.
10. 在空间中， 为两个定点，动点 到直线 的距离为2，动点 到直线 的距离为1，若二面角 为 ，则
A.
B.
C. 当 时， 平面
D. 当 平面 时，
11. 已知圆 ，圆 ，圆 。直线 与 均有两个交点。记 被 截得弦长为 ，则
A. 可以取任意实数
B. 满足 的直线 共有3条
C. 满足 的直线 多于3条
D. 当 时， 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 双曲线 的离心率为 ______。
13. 已知 是偶函数， 在区间 单调递增。则 ______， ______。
14. 设实数 满足：存在数列 ，使得对于任意 ，均有 ，且 中有某连续9项 是公比为 的等比数列。则 的最大值为 ______。
四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
如图，在直三棱柱 中，，。 分别为 的中点。
（1）证明： 平面 ；
（2）设 ，直线 与平面 所成的角为 45°，求直线 到平面 的距离。
16.（本小题满分15分）
已知在 中，，，。
（1）求 ；
（2）设 两点满足： 在 的延长线上，，。若 ，求 。
17.（本小题满分15分）
设整数 ，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 次，当且仅当投中1次时或 次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 $p(0<p<1)$，各次投中与否相互独立。记 $x$="" 为停止练习时该同学的投篮次数。<="" p="">
（1）当 ， 时，求 的分布列；
（2）设 均为自然数：
(i) 当 时，求 ；
(ii) 当 时，证明：。
18.（本小题满分17分）
已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 。
（1）求 的方程；
（2）设 为坐标原点，过 且斜率大于0的动直线 与 交于 两点，其中 在第三象限，直线 与 交于另一个点为 。
(i) 若 的面积为 的面积的3倍，求 的方程；
(ii) 求 的最小值。
19.（本小题满分17分）
已知函数 的定义域为 ，且当 时，。对于任意 ，定义集合 。
（1）若当 时，，求 ；
（2）若 是奇函数，，且 ，证明：；
（3）设 满足：①若 ，则 ；②当 $0<x<1$ 时，$f(x)
(i) 证明：；
(ii) 证明： 在区间 单调递增。
参考答案与解析
一、选择题
1. 中位数计算
- 思路：排序数据4,5,6,8,12，中间数为第3个6
deffind_median(data):
sorted_data = sorted(data)
n = len(sorted_data)
if n % 2 == 1:
return sorted_data[n//2]
else:
return (sorted_data[n//2-1] + sorted_data[n//2]) / 2
data = [6, 8, 4, 5, 12]
print("中位数:", find_median(data)) # 输出: 6
print("\n=== 答案 ===")
print("正确选项: B")
2. 平面向量基本定理
import sympy as sp
# 定义向量符号
a, b = sp.symbols('a b', commutative=False) # 向量不交换
x, y = sp.symbols('x y')
# 方程: 2a + yb = xa - 3b
# 移项得: (2 - x)a + (y + 3)b = 0
# 由于a, b不共线，系数必须都为0
eq1 = sp.Eq(2 - x, 0) # a的系数
eq2 = sp.Eq(y + 3, 0) # b的系数
solution = sp.solve((eq1, eq2), (x, y))
print(f"解: {solution}") # 输出: {x: 2, y: -3}
print(f"x={solution[x]}, y={solution[y]}") # 输出: x=2, y=-3
print("\n=== 答案 ===")
print("正确选项: A")
3. 集合与三角函数
import sympy as sp
# ========== 第3题：集合与三角函数 ==========
# 题目：已知集合A和B，求A∩B
# 定义符号
x = sp.Symbol('x')
# 计算集合A的元素
sin_val = sp.sin(7 * sp.pi / 6) # sin(7π/6)
cos_val = sp.cos(5 * sp.pi / 3) # cos(5π/3)
tan_val = sp.tan(5 * sp.pi / 4) # tan(5π/4)
print("=== 集合A的元素 ===")
print(f"sin(7π/6) = {sp.simplify(sin_val)}") # -1/2
print(f"cos(5π/3) = {sp.simplify(cos_val)}") # 1/2
print(f"tan(5π/4) = {sp.simplify(tan_val)}") # 1
# 集合B的元素
B_elements = {-sp.sqrt(3)/2, -sp.Rational(1, 2), 1}
print(f"\n集合B = {{{-sp.sqrt(3)/2}, {-sp.Rational(1, 2)}, 1}}")
# 将集合A转换为数值
A_elements = {sp.simplify(sin_val), sp.simplify(cos_val), sp.simplify(tan_val)}
print(f"集合A = {A_elements}")
# 求交集
intersection = A_elements & B_elements
print(f"\nA ∩ B = {intersection}")
# 判断哪个选项正确
print("\n=== 选项验证 ===")
option_A = {-sp.sqrt(3)/2, -sp.Rational(1, 2)}
option_B = {-sp.sqrt(3)/2, 1}
option_C = {-sp.Rational(1, 2), 1}
option_D = {-sp.sqrt(3)/2, -sp.Rational(1, 2), 1}
print(f"A: {{-√3/2, -1/2}} = {option_A}, 判断: {intersection == option_A}")
print(f"B: {{-√3/2, 1}} = {option_B}, 判断: {intersection == option_B}")
print(f"C: {{-1/2, 1}} = {option_C}, 判断: {intersection == option_C}")
print(f"D: {{-√3/2, -1/2, 1}} = {option_D}, 判断: {intersection == option_D}")
print("\n=== 答案 ===")
print("正确选项: C")
4. 导数几何意义
import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
y = 5*x + 8*sp.ln(x)
dy = sp.diff(y, x) # 导数 y' = 5 + 8/x
x0 = 1
slope = dy.subs(x, x0) # 在x=1处的斜率
y0 = 5*1 + 8*sp.ln(1) # y(1) = 5
# 切线方程: y - y0 = slope*(x - x0)
print(f"切线斜率: {slope}") # 输出: 13
print(f"切线方程: y = {slope}x + ({y0 - slope*x0})") # 输出: y = 13x - 8
print("\n=== 答案 ===")
print("正确选项: D")
5. 抛物线焦点
import math
import sympy as sp
# 点(4, 8)在两条抛物线上
# C1: y^2 = 2p1x => 64 = 8p1 => p1 = 8
p1 = 8
# C2: x^2 = 2p2y => 16 = 16p2 => p2 = 1
p2 = 1
# 焦点坐标
f1 = (p1/2, 0) # (4, 0)
f2 = (0, p2/2) # (0, 0.5)
# 两点间距离
distance = math.sqrt((f1[0]-f2[0])**2 + (f1[1]-f2[1])**2)
print(f"焦点距离: {sp.nsimplify(distance)}") # 输出: sqrt(65)/2
print("\n=== 答案 ===")
print("正确选项: D")
6. 函数最值
import sympy as sp
x, a = sp.symbols('x a')
f = (x + 2) / sp.exp(x + a)
df = sp.diff(f, x) # 导数
# 求极值点: df = 0
critical_point = sp.solve(df, x)[0] # x = -1
# 最大值为1，代入x=-1
max_value = f.subs(x, critical_point)
a_value = sp.solve(max_value - 1, a)[0]
print(f"a = {a_value}") # 输出: a = 1
print("\n=== 答案 ===")
print("正确选项: B")
7. 等差数列应用
# 生成12行塔数
towers = [1, 3, 3, 5, 5] + list(range(7, 20, 2))
print("塔数:", towers) # [1, 3, 3, 5, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19]
total = sum(towers) # 108
# 求公差d，设6组和构成等差数列，首项m，公差d
# 6m + 15d = 108 => 2m + 5d = 36
# 尝试d=4，则m=8
d = 4
m = 8
group_sums = [m + i*d for i in range(6)]
print("分组和:", group_sums) # [8, 12, 16, 20, 24, 28]
print(f"公差d = {d}") # 输出: d = 4
print("\n=== 答案 ===")
print("正确选项: B")
8. 数学期望
- 思路：确定总点数、剔除指定点后剩余样本数；分析每一维坐标取值的总和特征；计算所有样本点的总和；代入期望公式计算，得出答案
# U集合：每个维度取{-2, -1, 1, 2}，共4^3=64个点
# 每维各值出现次数相同，总和为0
import sympy as sp
total_sum = 0# 64个点的总和为0
# 剔除点P(1,1,1)后，总和变为-3
remaining_sum = total_sum - (1+1+1) # -3
remaining_count = 64 - 1# 63
expectation = remaining_sum / remaining_count
print(f"E(X) = {sp.nsimplify(expectation)}") # 输出: -1/21
print("\n=== 答案 ===")
print("正确选项: A")
二、多选题
9. 复数运算
import sympy as sp
z = sp.Symbol('z')
# 设 z = 3 + 2i
z_val = 3 + 2*sp.I
# A. 共轭复数
conjugate_z = sp.conjugate(z_val)
print(f"A. 共轭复数: {conjugate_z}") # 3 - 2*I
# B. 模
mod_z = sp.Abs(z_val)
print(f"B. 模: {mod_z}") # sqrt(13)
# C. 平方
z_squared = sp.simplify(z_val ** 2)
print(f"C. z^2: {z_squared}") # 5 + 12*I
# D. (z+3)/(z-i)是否为实数
result = sp.nsimplify((z_val + 3) / (z_val - sp.I))
print(f"D. (z+3)/(z-i): {result}") # 2
print(f"D是否为实数: {result.is_real}") # True
print("\n=== 答案 ===")
print("正确选项: ACD")
10. 空间几何
import sympy as sp
# ========== 第10题：空间几何 ==========
# 题目：A,B为定点，C到AB距离为2，D到AB距离为1，二面角C-AB-D为60°
# 定义符号
t, x1, x2, u1, u2, v1, v2 = sp.symbols('t x1 x2 u1 u2 v1 v2', real=True)
# ===== Step 1: 设定坐标系 =====
# A(0,0,0)，AB为x轴
# C(x1, u1, u2)，到AB距离为2，故u1² + u2² = 4
# D(x2, v1, v2)，到AB距离为1，故v1² + v2² = 1
# 二面角为60°，故(u1v1 + u2v2) = |u||v|cos60° = 2*1*1/2 = 1
print("=== 坐标系设定 ===")
print("A(0,0,0)，AB为x轴")
print("C(x₁, u₁, u₂)，满足u₁² + u₂² = 4")
print("D(x₂, v₁, v₂)，满足v₁² + v₂² = 1")
print("二面角60°，故u₁v₁ + u₂v₂ = 1")
# ===== Step 2: 分析选项 =====
print("\n=== 选项分析 ===")
# 选项A: ∠CAD ≥ 60°？
print("\nA: ∠CAD ≥ 60°？")
print("取x₁ = x₂ = t")
# 向量AC = (t, u1, u2)，向量AD = (t, v1, v2)
# cos∠CAD = (AC·AD) / (|AC| |AD|)
dot_product = t*t + u1*v1 + u2*v2
AC = sp.sqrt(t**2 + u1**2 + u2**2)
AD = sp.sqrt(t**2 + v1**2 + v2**2)
cos_CAD = dot_product / (AC * AD)
# 代入条件u1²+u2²=4, v1²+v2²=1, u1v1+u2v2=1
cos_CAD_simplified = sp.simplify((t**2 + 1) / sp.sqrt((t**2 + 4) * (t**2 + 1)))
print(f"cos∠CAD = (t²+1) / √[(t²+4)(t²+1)] = √[(t²+1)/(t²+4)]")
# 分析当t变化时cos∠CAD的范围
print("当t变化时，(t²+1)/(t²+4) = 1 - 3/(t²+4) ∈ [1/4, 1)")
print("cos∠CAD ∈ [1/2, 1)，即∠CAD ∈ (0°, 60°]")
print("∠CAD可以小于60°，故A错误")
# 选项B: CD ≥ 3？
print("\nB: CD ≥ 3？")
# CD² = (x1-x2)² + (u1-v1)² + (u2-v2)²
CD_squared = (x1-x2)**2 + (u1-v1)**2 + (u2-v2)**2
# 展开: (x1-x2)² + u1² - 2u1v1 + v1² + u2² - 2u2v2 + v2²
# = (x1-x2)² + (u1²+u2²) + (v1²+v2²) - 2(u1v1+u2v2)
# = (x1-x2)² + 4 + 1 - 2*1 = (x1-x2)² + 3
CD_squared_simplified = (x1-x2)**2 + 3
print(f"CD² = (x₁-x₂)² + (u₁-v₁)² + (u₂-v₂)²")
print(f" = (x₁-x₂)² + 4 + 1 - 2 = (x₁-x₂)² + 3")
print(f"CD = √[(x₁-x₂)² + 3] ≥ √3")
print("故B正确")
# 选项C: 当AB⊥CD时，CD⊥平面ABD？
print("\nC: 当AB⊥CD时，CD⊥平面ABD？")
print("AB方向向量为(1,0,0)，CD向量为(x2-x1, v1-u1, v2-u2)")
print("AB·CD = x2-x1 = 0，故x1 = x2")
print("此时CD·AB = 0（已垂直）")
print("CD·AD = (0, v1-u1, v2-u2)·(x1, v1, v2) = v1(v1-u1) + v2(v2-u2)")
print(" = v1² + v2² - (u1v1 + u2v2) = 1 - 1 = 0")
print("CD⊥AD，又CD⊥AB，故CD⊥平面ABD，C正确")
# 选项D: 当AB⊥平面ACD时，AC⊥AD？
print("\nD: 当AB⊥平面ACD时，AC⊥AD？")
print("AB⊥平面ACD，故x1 = x2 = 0")
print("此时AC = (0, u1, u2)，AD = (0, v1, v2)")
print("AC·AD = u1v1 + u2v2 = 1 ≠ 0")
print("AC与AD不垂直，故D错误")
print("\n=== 答案 ===")
print("正确选项: BC")
11. 圆与直线
- 公式：弦长（d为圆心到直线距离），点到直线距离公式
import sympy as sp
# ========== 第11题：圆与直线 ==========
# 题目：三个圆C₁(-1,0), C₂(1,0), C₃(0,√3)，直线L:kx-y+b=0
# 定义符号
k, b, q, u, v = sp.symbols('k b q u v', real=True)
# ===== Step 1: 计算圆心到直线的距离 =====
# 直线方程: kx - y + b = 0
# 距离公式: d = |Ax + By + C| / sqrt(A² + B²)
# C₁(-1,0)到L的距离
d1 = sp.Abs(k*(-1) - 0 + b) / sp.sqrt(k**2 + 1)
# C₂(1,0)到L的距离
d2 = sp.Abs(k*1 - 0 + b) / sp.sqrt(k**2 + 1)
# C₃(0,√3)到L的距离
d3 = sp.Abs(k*0 - sp.sqrt(3) + b) / sp.sqrt(k**2 + 1)
print("=== 圆心到直线的距离 ===")
print(f"d₁ = |b - k| / √(1+k²)")
print(f"d₂ = |b + k| / √(1+k²)")
print(f"d₃ = |b - √3| / √(1+k²)")
# 令 q = √(1+k²)
q_expr = sp.sqrt(1 + k**2)
print(f"\n令 q = √(1+k²)")
print(f"d₁ = |b - k| / q")
print(f"d₂ = |b + k| / q")
print(f"d₃ = |b - √3| / q")
# ===== Step 2: 弦长公式 =====
# Sᵢ = 2√(r² - dᵢ²)，半径r=1
S1 = 2 * sp.sqrt(1 - d1**2)
S2 = 2 * sp.sqrt(1 - d2**2)
S3 = 2 * sp.sqrt(1 - d3**2)
print(f"\n=== 弦长公式 ===")
print(f"S₁ = 2√(1 - d₁²)")
print(f"S₂ = 2√(1 - d₂²)")
print(f"S₃ = 2√(1 - d₃²)")
# ===== Step 3: 分析选项 =====
print("\n=== 选项分析 ===")
# 选项A: k可以取任意实数？
print("\nA: k可以取任意实数？")
# 要求|dᵢ| < 1，当k=-1/√3时分析矛盾
k_val = -1/sp.sqrt(3)
q_val = sp.sqrt(1 + k_val**2)
print(f"若k = -1/√3，则q = √(1 + 1/3) = √(4/3) = 2/√3")
print(f"条件|b - k| < q 和 |b - √3| < q 矛盾，故A错误")
# 选项B: 满足S₁=S₂=S₃的直线有3条
print("\nB: 满足S₁=S₂=S₃的直线有3条？")
print("由|b - k| = |b + k| = |b - √3|")
print("由|b - k| = |b + k|得b=0或k=0")
print("若k=0，则b=√3/2；若b=0，则k=±√3")
print("共3条直线满足条件，故B正确")
# 选项C: 满足S₁+S₂+S₃=3的直线多于3条
print("\nC: 满足S₁+S₂+S₃=3的直线多于3条？")
print("取b=0，记u = |k|/√(1+k²)")
print("则S₁+S₂+S₃ = 4u + 2√(1-3u²)")
print("解方程4u + 2√(1-3u²) = 3")
# 解方程
eq_c = sp.Eq(4*u + 2*sp.sqrt(1 - 3*u**2), 3)
solutions_c = sp.solve(eq_c, u)
print(f"解得u = {solutions_c}")
print("对应k有4条直线，故C正确")
# 选项D: 当b=0时，S₁+S₂+S₃的最大值
print("\nD: 当b=0时，S₁+S₂+S₃的最大值为2√21/3？")
print("S = 4u + 2√(1-3u²)，令v=√(1-3u²)")
print("则3u² + v² = 1，S² ≤ (16/3 + 4)(3u² + v²) = 28/3")
print("当u=2/√21时取等号，S_max = 2√21/3，故D正确")
# 计算最大值
max_S = 2 * sp.sqrt(21) / 3
print("\n=== 答案 ===")
print("正确选项: BCD")
三、填空题
12. 双曲线离心率
import sympy as sp
# 双曲线方程: 5x² - 6y² = 1
# 标准形式: x²/(1/5) - y²/(1/6) = 1
x, y = sp.symbols('x y')
a_squared = sp.Rational(1, 5)
b_squared = sp.Rational(1, 6)
c_squared = a_squared + b_squared
a = sp.sqrt(a_squared)
c = sp.sqrt(c_squared)
e = c / a
print(f"离心率e = {sp.simplify(e)}") # sqrt(66)/6
13. 三角函数性质
import sympy as sp
x, a, theta = sp.symbols('x a theta')
# f(x) = 2*sin(a*x + theta)
f = 2 * sp.sin(a*x + theta)
# 偶函数条件: f(-x) = f(x)
eq = sp.Eq(f.subs(x, -x), f)
solutions = sp.solve(eq, theta)
print(f"theta可能值: {solutions}") # [pi/2, 3*pi/2]
# 选择theta = 3*pi/2
theta_val = 3 * sp.pi / 2
f_with_theta = f.subs(theta, theta_val)
print(f"f(x) = {sp.simplify(f_with_theta)}") # -2*cos(a*x)
# 计算f(2*pi/3)
result = f_with_theta.subs(x, 2*sp.pi/3)
print(f"f(2π/3) = {sp.simplify(result)}") # -2*cos(2*a*pi/3)
# 当a=-2时
print(f"a=-2时, f(2π/3) = {sp.simplify(result.subs(a, -2))}") # 1
14. 数列与等比数列
- 思路：先求数列通项，分析连续9项构成等比数列的条件
import sympy as sp
# ========== 第14题：数列与等比数列 ==========
# 题目：已知 S_n = n² + n，求数列中连续9项构成等比数列时q的最大值
# Step 1: 求数列通项
n = sp.Symbol('n')
S_n = n**2 + n
a_n = sp.simplify(S_n - S_n.subs(n, n-1))
print(f"数列通项: a_n = {a_n}") # a_n = 2n
# Step 2: 分析连续9项构成等比数列的条件
# 根据数学解法：
# - 9个连续位置至少含两个相邻的完整三项块
# - 相邻完整块之和之比是 q^3
# - 最早相邻完整块是 B_2=4, B_3=6
# - 故 q^3 ≤ 6/4 = 3/2
# Step 3: 建立方程 q^3 = 3/2
q = sp.Symbol('q', positive=True)
eq = sp.Eq(q**3, sp.Rational(3, 2))
print(f"\n根据分析建立方程: q³ = 3/2")
# Step 4: 求解方程
solutions = sp.solve(eq, q)
print(f"方程的解: {solutions}")
# Step 5: 筛选正实数解并找到最大值
positive_real_solutions = []
for sol in solutions:
try:
val = float(sol)
if val > 0:
positive_real_solutions.append((sol, val))
except:
continue
print(f"\n正实数解: {positive_real_solutions}")
if positive_real_solutions:
max_q = max(positive_real_solutions, key=lambda x: x[1])
print(f"\n★ q的最大值: {sp.simplify(max_q[0])}")
print(f" 数值近似: {max_q[1]:.6f}")
else:
print("未找到正实数解")
# Step 6: 验证答案
print(f"\n验证: ({max_q[0]})³ = {sp.simplify(max_q[0]**3)}")
四、解答题
考点：线面平行证明、空间角与距离
公式：线面平行判定定理、空间向量
思路：
（1）利用中位线证明，进而证明线面平行
（2）建立空间直角坐标系，求平面法向量，计算距离
考点：解三角形、相似三角形
公式：正弦定理、余弦定理、相似三角形性质
思路：
（1）用余弦定理求，再用正弦定理求，进而求
（2）由得相似，利用勾股定理求
（2）(i)
考点：离散型随机变量分布列、条件概率
公式：独立事件概率，条件概率
思路：
（1）分析停止条件，计算各概率
（2）(i) 表示前k次均未投中；(ii)利用条件概率公式证明
(2)(i)
(ii)
考点：椭圆方程、直线与椭圆位置关系、最值
公式：椭圆标准方程、焦点坐标、点到直线距离、三角形面积
思路：
（1）由焦点和离心率求
（2）(i)设直线方程，联立椭圆，利用面积关系求斜率；(ii)用向量或几何方法求角的正切值
考点：函数性质、集合与函数综合
公式：奇函数定义、函数单调性定义
思路：
（1）代入，解不等式，分和分段解不等式求得集合
（2）利用奇函数性质和单调性证明集合包含关系
（3）(i)用反证法证明，结合题干条件推出矛盾；(ii)利用单调性定义和已知条件证明
结语
Good Luck!🤞
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