Python 线性代数 04:点积

点积是向量运算中最基础、最常用的运算之一。它将两个等长向量的对应分量相乘并求和，结果是一个标量。点积既可以表示一组数值的加权求和，也可以反映两个向量之间的方向关系。

在 Python 中，可以使用列表、循环、zip() 和 sum() 实现点积。对于两个等长的一维 NumPy 数组，还可以使用 np.dot() 或 @ 运算符计算点积。

一、什么是点积

1、点积的基本定义

点积（Dot Product）也称标量积（Scalar Product）。在实数向量空间中，它是标准内积（Inner Product）的一种具体形式。

设两个 n 维实向量为：

它们的点积定义为：

也可以写成求和形式：

点积的计算过程可以概括为：将两个向量对应位置的分量相乘，再将所有乘积相加，最终得到一个标量。

在标准坐标表示下，点积要求两个向量属于同一个 n 维实向量空间，因此具有相同数量的分量。

2、点积与逐元素乘法

设：

逐元素乘法得到一个向量：

点积则需要将这些乘积继续相加：

因此，逐元素乘法的结果仍是向量，点积的结果则是标量。

3、点积的手工计算示例

设两个三维向量为：

先计算对应位置分量的乘积：

再将三个乘积相加：

因此：

点积结果 −3 是一个标量，不再具有三个分量。

4、点积的基本性质

设 a、b、c 是同一实向量空间中的向量，k 是实数。

点积满足交换律：

对向量加法满足分配律：

与标量乘法满足：

向量与自身的点积等于其长度的平方：

只有零向量与自身的点积等于 0：

二、使用 Python 基本语法计算点积

1、使用循环计算

可以使用 Python 列表表示向量，并通过循环完成对应元素相乘与累加：

a = [2, -1, 3]b = [4, 5, -2]# 点积要求两个向量的长度相同if len(a) != len(b):    raise ValueError("两个向量的长度必须相同")dot_product = 0# 将对应位置的元素相乘并累加for i in range(len(a)):    dot_product += a[i] * b[i]print(dot_product)

输出：

-3

变量 dot_product 从 0 开始，循环每执行一次，就将一组对应元素的乘积累加到已有结果中。

2、使用 zip() 和 sum()

zip() 可以将两个序列中相同位置的元素配对，生成式负责计算乘积，sum() 再对所有乘积求和：

a = [2, -1, 3]b = [4, 5, -2]if len(a) != len(b):    raise ValueError("两个向量的长度必须相同")dot_product = sum(    x * y    for x, y in zip(a, b))print(dot_product)

输出：

-3

zip() 会在较短的序列结束时停止。因此，计算点积前仍应检查两个向量的长度是否相同。

三、使用 NumPy 计算点积

1、使用 np.dot() 和 @

对于两个长度相同的一维 NumPy 数组，可以使用 np.dot() 函数或 @ 运算符计算点积：

import numpy as npa = np.array([2, -1, 3])b = np.array([4, 5, -2])result_1 = np.dot(a, b)result_2 = a @ bprint(result_1)print(result_2)

输出：

-3-3

对于一维数组，np.dot(a, b) 和 a @ b 都会计算对应元素的乘积之和，得到相同的标量结果。

对于二维及更高维数组，np.dot() 与 @ 的规则会发生变化，不应再简单理解为两个向量的点积。相关规则将在矩阵乘法中进一步讨论。

2、点积结果的形状

上例中两个一维数组的形状都是 (3,)。点积结果是 NumPy 标量，其形状为 ()：

result = a @ bprint(np.shape(result))

输出：

()

形状 () 表示结果是零维标量，不是形状为 (1,) 的一维数组。

四、点积的几何意义

1、点积与向量长度

n 维实向量 a 的长度为：

由于向量与自身的点积为：

因此：

点积不仅可以用来定义向量的长度，也可以用来反映两个向量之间的方向关系。

2、点积与向量夹角

对于两个非零向量 a 和 b，设它们之间的夹角为 θ，则：

其中：

‖a‖ 表示向量 a 的长度；

‖b‖ 表示向量 b 的长度；

θ 表示两个向量之间的夹角。

由此可以得到夹角余弦：

这个公式将点积的代数计算与向量的几何方向联系起来。

3、点积的符号与方向关系

对于两个非零向量，‖a‖ 和 ‖b‖ 均大于 0，因此点积的符号由 cos θ 决定：

a·b > 0：两个向量的夹角为锐角；

a·b = 0：两个向量的夹角为直角，二者相互正交；

a·b < 0：两个向量的夹角为钝角。

例如：

计算点积：

因此，两个非零向量 a 和 b 相互正交。

对应的 Python 代码为：

import numpy as npa = np.array([1, 0])b = np.array([0, 1])result = a @ bprint(result)

输出：

0

4、使用点积计算夹角

设：

先计算点积：

再计算两个向量的长度：

代入夹角公式：

因此：

使用 Python 计算：

import numpy as npa = np.array([1.0, 2.0])b = np.array([3.0, 1.0])# 计算点积dot_product = a @ b# 计算两个向量的长度norm_a = np.linalg.norm(a)norm_b = np.linalg.norm(b)# 根据点积公式计算夹角余弦cos_theta = dot_product / (norm_a * norm_b)# 避免浮点误差使结果略微超出 [-1, 1]cos_theta = np.clip(cos_theta, -1.0, 1.0)# 根据余弦值计算夹角，返回值的单位为弧度theta_radians = np.arccos(cos_theta)# 将弧度转换为角度theta_degrees = np.degrees(theta_radians)print("点积：", dot_product)print("夹角余弦：", cos_theta)print("夹角：", theta_degrees)

输出：

点积： 5.0夹角余弦： 0.7071067811865475夹角： 45.0

要注意的是，零向量的长度为 0，没有确定方向。因此，当任意一个向量为零向量时，不能使用夹角公式。

五、扩展：复数向量的内积

对于实数向量，点积是对应分量乘积之和。对于复数向量，标准内积需要对其中一个向量取复共轭。

不同教材可能采用不同的记号约定。这里采用 NumPy np.vdot() 的规则，对第一个向量取复共轭：

其中，āᵢ 表示 aᵢ 的复共轭。

例如：

根据上述约定：

NumPy 可以使用 np.vdot() 完成这种运算：

import numpy as npa = np.array([1 + 1j, 2])b = np.array([3, 1 - 1j])result = np.vdot(a, b)print(result)

输出：

(5-5j)

np.vdot(a, b) 会先将输入展平，再对第一个输入取复共轭。

对于等长的实数一维数组，np.vdot()、np.dot() 和 @ 得到相同的数值结果；对于复数向量，三者的含义可能不同。

六、点积的典型应用

1、计算余弦相似度

点积结合向量长度，可以计算余弦相似度（Cosine Similarity），用于比较两个非零向量在方向上的接近程度：

NumPy 实现如下：

import numpy as npa = np.array([1.0, 2.0])b = np.array([2.0, 1.0])cosine_similarity = (    a @ b    / (np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(b)))print(cosine_similarity)

输出可能为：

0.7999999999999998

结果约为 0.8，说明两个向量的方向比较接近，但并不完全相同。

余弦相似度常用于比较文本、图像和其他数据的嵌入向量。其取值范围、特殊情况和距离关系将在后续文章中进一步讨论。

2、表示加权求和

点积还可以表示一组输入数值的加权求和。

设输入向量为：

权重向量为：

加权求和为：

这正是两个向量的点积：

例如，设：

手工计算：

NumPy 实现为：

import numpy as npv = np.array([4.0, 2.0, 5.0])w = np.array([0.5, 1.5, -1.0])weighted_sum = w @ vprint(weighted_sum)

输出：

0.0

点积可以表示输入与权重的加权求和；多个输出的点积可以进一步合并为矩阵乘法。

七、常见问题及使用建议

1、确认向量长度和数组形状

使用 NumPy 计算向量点积时，应确认两个输入都是长度相同的一维数组。

对于二维及更高维数组，np.dot() 和 @ 的运算规则会发生变化，不能再简单理解为两个向量的点积。

2、区分逐元素乘法与点积

对于一维数组，* 表示逐元素乘法，@ 和 np.dot() 表示点积，不要混用。

3、零向量不能用于计算夹角

零向量与任意向量的点积都为 0，因此零向量与任意向量都满足正交的代数定义。

但是，零向量没有确定方向，不能据此认为它与其他向量的夹角为 90°，因为这一夹角没有定义。

4、注意浮点数误差

计算夹角或余弦相似度时，浮点误差可能使理论上属于 [−1, 1] 的余弦值略微超出该范围，例如：

1.0000000000000002

传入 np.arccos() 前，可以使用：

cos_theta = np.clip(    cos_theta,    -1.0,    1.0)

将数值限制在合法范围内，避免得到无效结果。

📘 小结

点积将两个等长向量的对应分量相乘并求和，结果是标量。它可以表示向量长度、方向关系、余弦相似度和加权求和。Python 可使用循环、np.dot() 或 @ 实现点积；计算夹角时，还需注意零向量和浮点误差。