t检验是用于检验单个回归系数（包括截距项和斜率项）是否显著不为零，从而判断自变量对因变量的影响是否统计上显著。在回归结果中，每个回归系数计算出的t值的绝对值越大，说明该系数越可能不等于0。p值是用来判断t检验的结果是否显著。通常，如果p值小于选定的显著性水平（如0.05），则认为该系数显著不为零（即该变量更重要）。

例如，一个自变量的t值为2.5，p值为0.01，则在0.05的显著性水平下，可以拒绝原假设（即该自变量的系数为0），并认为这个自变量对因变量有显著影响。

（4）F检验

F检验（F-test）是用于检验所有回归系数（除了截距项之外）是否至少有一个显著不为零。即测试整个模型的显著性，而不是单个参数。回归会计算出一个F统计量及其对应的p值（Prob（F-statistic））。

F统计量是衡量的是模型整体解释的变异与未解释的变异之间的比率。F值越大，说明模型的整体拟合度越好。p值是用于判断F检验的结果是否显著。如果p值低于选定的显著性水平（如0.05），则可以拒绝所有系数均为零的原假设，表明至少有一个自变量对因变量有显著影响。

例如，F统计量为175.7，p值为1.40e-23，在0.05的显著性水平下，我们可以说整个模型是显著的，至少有一个自变量对因变量有显著影响。

（5）残差分析

在实际应用中，查看残差数据对于判断模型的好坏至关重要。它帮助我们确定残差是否为随机分布，从而确保模型假设的有效性。

①Durbin-Watson统计量

Durbin-Watson统计量是用来检测回归分析中的残差（预测值与实际值之间的差异）是否存在一阶自相关性的统计测试。它对于时间序列数据尤为重要，因为如果存在自相关性，那么意味着模型可能没有充分利用所有可用的信息，或者可能遗漏了某些重要的变量或模式。

②Jarque-Bera（JB）统计量与Prob（JB）

Jarque-Bera（JB）统计量是一个用于检验残差数据是否符合正态分布的统计测试。它通过同时考虑残差数据的偏度（Skewness）和峰度（Kurtosis）来评估数据与正态分布之间的差异。JB统计量越小，表示数据越符合正态分布。JB统计量越大，表示数据越偏离正态分布，可能是由于偏度或峰度或两者共同作用的结果。如果是查看Prob（JB）值，Prob（JB）较高（例如大于0.05），这意味着我们没有足够的证据拒绝原假设（即残差是正态分布的）。在这种情况下，我们可以接受数据可能是正态分布的假设。

③残差图（ResidualPlot）

绘制残差与预测值或某个自变量之间的散点图。如果残差随机分布且没有明显的模式（例如，随着预测值增加，残差的散布范围没有明显变化），则表明可能存在同方差性。

【实例5】接上篇Excel数据集regression_data.xlsx信息，绘制营业收入与研发人数的散点图并做线性回归分析。

【分析解答】首先，我们绘制散点图查看数据情况。这里需要使用的是matplotlib库，详细的绘图会在第五章完整介绍。通过将前述基础数据和需求描述提交至通义灵码，并经过多轮迭代优化代码。最终优化完成后的代码如下：

import pandas as pd #未安装请pip install pandasimport matplotlib   #未安装，先pip install matplotlibimport matplotlib.pyplot as pltmatplotlib.use('TkAgg')plt.rcParams['font.family'] = ['Microsoft YaHei']  # 使用 Microsoft YaHei 字体plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']  # 如果你正在使用 sans-serif 字体from matplotlib.font_manager import FontPropertiesfont = FontProperties(fname=r"c:\windows\fonts\msyh.ttc", size=12)#Microsoft YaHei字体#绘制营业收入与研发人数的散点图regression_test=pd.read_excel('D:/AIpython/regression_data.xlsx','Sheet1',header=0,index_col=0)plt.figure(figsize=(10,6))plt.scatter(regression_test['研发人数（人）'].values,regression_test['营业收入（万元）'].values)plt.xlabel('研发人数(人)',fontproperties=font)plt.ylabel('营业收入(万元)',fontproperties=font)plt.title('研发人数与营业收入的关系',fontproperties=font)plt.show()

第一段落的代码功能是导入绘图的库以及设定字体。第二段落的代码功能是绘制“研发人数”与“营业收入”之间的散点图，并对图表进行个性化设置，包括设置图表标题、X轴和Y轴标签，以及展示图表。

输出结果：

可以看到，随着研发人数增加，营业收入呈上升趋势，反映两者存在正相关关系；但数据点分布并不完全集中，说明研发人数虽对营收有影响，可能受其他因素共同作用。

接着，我们载入OLS回归库，进行线性回归。

import statsmodels.api as sm #未安装，先pip install statsmodels#由散点图看出营业收入与研发人数的相关性较高，故选择二者进行回归验证model1=sm.OLS(regression_test['营业收入（万元）'],sm.add_constant(regression_test['研发人数（人）']))result=model1.fit()result.summary()print(result.summary())

输出结果：

使用通义灵码解释上面的回归输出结果：

最后，我们绘制线性回归图与残差图。绘制线性回归图的Python代码如下：

#绘制散点图plt.figure(figsize=(10,6))plt.scatter(regression_test['研发人数'],regression_test['营业收入'])#绘制回归线图lower=regression_test['研发人数'].min()*0.9upper=regression_test['研发人数'].max()*1.1const=result.params['const']slope=result.params['研发人数']plt.plot([lower,upper],[lower*slope+const,upper*slope+const],linewidth=2,color='red')plt.xlabel('研发人数(人)',fontproperties=font)plt.ylabel("营业收入(万元)",fontproperties=font)plt.title('营业收入与研发人数的线性回归图',fontproperties=font)plt.show()

输出结果：

绘制残差图的Python代码如下：

#绘制残差散点图plt.figure(figsize=(10,6))plt.scatter(range(len(result.resid)),result.resid,alpha=0.5)plt.title('残差图',fontproperties=font)plt.xlabel('观测点索引',fontproperties=font)plt.ylabel('残差',fontproperties=font)plt.axhline(y=0,color='black',linestyle='--')#添加零线plt.show()

输出结果：

我们可以先保存上面残差图，然后上传至通义灵码进行解释。

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一元线性回归是分析只有一个自变量（自变量x和因变量y）线性相关关系的方法。一个经济指标的数值往往受许多因素影响，若其中只有一个因素是主要的，起决定性作用，则可用一元线性回归进行预测分析。

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