从零到一搞懂柏林噪声:数学、代码与自然的平衡

那么，如何将两侧的梯度综合成一个最终的噪声值呢？这时就需要引入“插值”的概念。插值的本质是给左右两边的贡献分配“权重”。当采样点靠近左侧时，左侧梯度的影响权重更大；靠近右侧时，右侧权重更大。这个权重分配的过程不是僵硬的，而是平滑过渡的。变量t的范围定义为0到1。插值公式：f(t)=a+t(b-a)。

这就是线性插值后的效果。聪明的你可能发现了一个问题：线性插值的公式明明是一个线性方程，为什么绘制出来却像二次函数的抛物线呢？

我们取x轴的一段来讲解：左侧为A点，右侧为B点，当前采样点位于A、B之间。A点处的梯度g0对采样点的位移贡献为t，B点处的梯度g1贡献则为t-1。此时，左侧贡献值yA=g0*t，右侧贡献值yB=g1*(t-1)。将这两个值代入插值公式f(t)=(1-t)*yA+t*y_B展开整理后，你会发现它确实是一个关于t的二次函数。这也就是为什么它的轨迹是一条抛物线。

虽然二次函数自带弯曲，但在x等于2或4这样的整数格点上，我们可以明显看到“折痕”。这说明两个区间在衔接处不够丝滑。要解决这个问题，我们需要引入“导数”。

导数是描述函数变化快慢的数学量。刚才提到的“折痕”，本质上就是导数在衔接瞬间发生了突变。函数y= f(x)的导数公式如下（展示极限定义公式），简单来说，它就是y的变化量除以x的变化量。当x的变化量趋近于零时，得到的就是该时刻的瞬时变化率。导数的正负和大小反映了函数的增减方向和变化快慢。特别需要注意的是：当导数为0时，函数处于平稳点，比如二次函数的顶点。这给了我们启示：如果我们希望曲线在交汇点实现平滑衔接，那么在交汇瞬间，它的导数为0是最理想的状态。

这里我们要引入“平滑函数”的概念。在代码调用插值时，通常传入三个参数：左侧贡献、右侧贡献和当前t值。核心就在这个t值上。如果我们直接使用线性插值，实际传入的平滑函数就是S(t)=t。现在我们对其求导，代入边界发现：当t=0时，导数值为g0-g1；当t=1时，导数值为g1-g0。除非两点梯度完全相等，否则导数几乎不可能为0。这从数学上证明了，直接使用S(t) =t无法实现边界的平滑衔接。

聪明的你一定想到了：难道我们不能换一个更高级的平滑函数吗？思路完全正确！早期柏林噪声采用了S(t) =3t^2-2t^3，也就是“三次方平滑函数”。我们将这个函数代入插值公式后求导，发现它在t=0和t=1处的导数确实都变成了0。这完美达成了平滑衔接的目的。

如图所示，使用三次方平滑后，区间衔接处变得优雅了。但这是最终答案吗？还不是。虽然衔接处光滑了，但我们还可以追求更自然的过渡。这里涉及到了导数的导数——“二阶导数”。

一阶导数表示梯度的变化率，而二阶导数则表示“变化率的变化率”，通俗地说就是“弯曲程度”或“曲率”。如果二阶导数在衔接处也能平稳过渡，那么视觉上的弯曲感会更加自然。

我们来看看三次函数的表现：它的一阶导数在边界虽然为0，但二阶导数在t=1处却是-12*(g1-g0)。这意味着除非g1等于g0，否则弯曲程度在衔接处依然会发生突跳。

于是，我们需要引入终极平滑函数：S(t)=6t^5-15t^4+ 10t^3。通过计算可以证明，这个五次方函数的一阶导数和二阶导数在t=0和t=1处全部为零。它让梯度的变化率和弯曲程度都达到了极致的自然。这就是柏林噪声最精妙的数学设计。

仔细观察引入五次方平滑后的曲线，是不是感觉呼吸感更加自然了？

我们用一张图来对比：橙色是僵硬的线性插值，淡紫色是改善后的三次方平滑，荧光绿色则是我们最终的五次方平滑。显然，最终版本是最优雅、最符合自然规律的。

此外，不同的柏林噪声是可以直接叠加的。根据导数的线性性质，两个平滑函数相加后的导数，等于它们各自导数的和。因此，多个平滑噪声叠加后的结果依然是极致平滑的。我们可以利用不同振幅、频率的波形叠加出具有丰富细节的曲线，如绿色曲线所示。

综合运用一维柏林噪声，我们可以生成类似《泰拉瑞亚》这种横版游戏的地形。可以看到，生成的地貌非常优雅自然。

理解了1D，2D就非常容易了。在2D平面中，我们划分出很多网格。如果采样点P处在网格ABCD中，它会受到4个格点梯度的共同影响。此时梯度变为了“向量”，我们使用“点积”来计算每个梯度对P点的贡献。接着，先沿着x轴在AB和CD之间进行两次插值，最后再沿着 y轴进行最后一次插值。相比1D，2D噪声涉及4个顶点和总共3次插值运算。

我们可以用2D噪声生成平面的地形图，衔接非常自然，你可以根据噪声值填充不同的美术素材。

甚至，我们可以将2D噪声映射到3D空间的高度轴上，从而生成起伏的3D山峦。

最后，我们可以将其推广到3D柏林噪声。3D环境下采样点受周围8个顶点的影响，需要进行7次插值。

当我们要生成类似《我的世界》这样的大型世界时，3D噪声不仅能生成连绵的地形，甚至能通过噪声密度的变化，在山体内部“挖出”错综复杂的随机洞穴。

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