Merton跳跃扩散模型
Merton跳跃扩散模型（Merton Jump-Diffusion Model，简称MJD模型）是由罗伯特·默顿（Robert Merton）于1976年提出的一个金融数学模型，旨在弥补经典Black-Scholes期权定价模型与现实市场之间的差距。Black-Scholes模型的一个核心假设是资产价格遵循连续的几何布朗运动，这意味着价格路径是连续的，不会出现突然的、不连续的跳跃。然而，在实际金融市场中，资产价格常常因为突发新闻、公司财报发布、宏观经济数据公布或监管政策变动等事件而出现瞬间的、大幅度的跳升或跳跌。
MJD模型的核心创新在于，它将价格运动分解为两个相互独立的部分：“正常”的波动和“异常”的跳跃。第一部分是连续的扩散过程，由几何布朗运动描述，用于捕捉资产价格在正常市场条件下的微小、连续的变动。这一部分与Black-Scholes模型中的设定一致，包含了一个漂移项（代表平均趋势）和一个扩散项（代表随机波动）。
第二部分是不连续的跳跃过程，由一个泊松过程（Poisson Process）驱动。这个部分负责捕捉那些罕见的、离散的极端事件。具体来说，模型假设跳跃的发生频率由泊松到达率（λ）决定，λ越高，代表单位时间内发生跳跃的预期次数越多。而每次跳跃的幅度（Y）本身也是一个随机变量，在默顿的原始设定中，通常假设跳跃幅度的对数服从正态分布。
因此，MJD模型将资产价格的动态变化描述为一个“扩散+跳跃”的混合过程。其随机微分方程可以表达为：资产价格的相对变动等于由漂移和扩散构成的连续部分，加上由跳跃到达率和随机跳跃幅度构成的离散部分。这个模型通过引入跳跃相关的参数，能够更真实地刻画金融时间序列中常见的“尖峰厚尾”特征，即极端事件发生的概率高于正态分布预测的概率，从而为更准确地定价期权和管理风险提供了理论基础。
使用Merton跳跃扩散模型预测股票风险
使用Merton跳跃扩散模型预测股票风险，并非直接给出一个唯一的未来价格，而是通过模拟大量可能的价格路径，来评估未来收益分布的潜在风险，特别是极端损失的可能性。这个过程通常包含以下几个关键步骤：
首先，需要对模型进行参数校准。这涉及到利用股票的历史价格数据，来估计模型中的五个关键参数：连续部分的漂移率（μ）和波动率（σ）、跳跃的到达率（λ）、以及跳跃幅度的对数均值（μⱼ）和标准差（σⱼ）。这是一个具有挑战性的步骤，因为跳跃是罕见事件，难以精确估计。常用的方法包括最大似然估计法（MLE），该方法试图找到一组参数，使得观察到的历史数据出现的概率最大。更先进的研究会利用期权市场的横截面数据来提取“隐含跳跃”信息，以提高估计的准确性。
其次，利用校准好的参数进行蒙特卡洛模拟。这是一种通过大量重复随机抽样来模拟系统行为的方法。在计算机上，我们可以基于校准后的MJD模型，生成成千上万条未来一段时间内（例如未来3个月或1年）的潜在股票价格路径。每条路径都模拟了在连续扩散的基础上，随机时间点可能发生的随机幅度跳跃。这些海量的模拟路径构成了未来股价所有可能情景的分布。
最后，基于模拟结果进行风险指标分析与预测。通过对成千上万条模拟路径的最终价格或收益率进行统计分析，可以计算出各种风险度量指标。最常用的是风险价值（VaR），它衡量在给定的置信水平（如95%或99%）下，未来一段时间内可能遭受的最大潜在损失。另一个重要指标是预期亏损（ES），它衡量的是当损失超过VaR阈值时的平均损失，能更好地反映极端尾部风险。通过比较不同时期、不同市场环境下的模拟结果，投资者可以量化跳跃风险对投资组合的潜在冲击。研究表明，基于MJD模型或其衍生模型提取的风险指标，对于预测未来已实现波动率，尤其是在市场面临极端事件或高不确定性时期，具有显著的增量预测能力。尽管像ARIMA这样的时间序列模型在点预测误差上可能更小，但MJD模型在刻画和预警极端风险方面具有不可替代的优势。
总而言之，使用Merton跳跃扩散模型预测风险的核心思想是：承认我们对未来的无知（跳跃的不可预测性），但通过模型量化这种无知可能带来的损失范围，从而做出更审慎的决策。
