数学建模与Python:探索世界的数字钥匙

1. Windows 系统标准安装指南如果你使用的是个人电脑，推荐使用 Miniconda 来管理 Python 环境。它轻量且易于管理，能有效避免环境冲突。

• Windows 系统下从清华大学 TUNA 镜像安装 Miniconda3 完整指南

2. 便携版/绿化安装指南（U盘/公用机房适用）如果你需要在学校机房、网吧等公用电脑上运行代码，或者希望把 Python 装在 U 盘里随身携带，可以使用“嵌入式版本”制作一个“绿色版” Python，即插即用，无需管理员权限。

• 打造绿色便携 Python：初步理解嵌入式 Python 与路径机制

3. Python 基础语法速成在开始建模之前，你需要掌握最基本的 Python 语法（变量、循环、函数等）。这里有一份 5 分钟的快速入门指南，适合新手快速热身。

• Python 基础语法 5 分钟入门

推荐的工具箱

以前写Python代码的人可能比较推荐用PyCharm等比较重量级的IDE，但现在更建议大家使用VS Code等轻量级的编辑器，或者Jupyter Notebook等交互式编程环境。

在本系列的案例中，我们将主要依赖以下几个核心库，这些库也构成了 Python 科学计算的基石。

下面是本系列常用库及其功能对照表：

如何安装这些库？

推荐使用 Python 的包管理工具 pip 进行安装。由于官方源服务器在海外，下载速度可能较慢，强烈建议使用国内镜像源（如清华大学 TUNA 镜像）来加速安装。

1. 临时加速安装

你可以在安装命令后加上 -i 参数指定镜像源：

# 安装单个库pip install numpy -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple# 一次性安装所有推荐库pip install numpy pandas matplotlib scipy pint -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple

如果下载了一份代码，其目录里面有 requirements.txt 文件，也可以直接使用 requirements.txt 文件进行批量安装：

pip install -r requirements.txt -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple

2. 永久配置镜像（推荐）

为了避免每次都需要输入长长的镜像地址，你可以将清华源设置为默认源：

pip config set global.index-url https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple

配置完成后，以后只需要运行 pip install 库名 即可自动享受高速下载。

如何使用这些库？炫技演示：蝴蝶效应

在 Python 代码中，我们通常使用 import 语句来加载这些库，并给它们起一个简短的别名（Alias），这已经成为了业界的约定俗成的规范：

import numpy as np              # 引入 NumPy，别名 npimport pandas as pd             # 引入 Pandas，别名 pdimport matplotlib.pyplot as plt # 引入 Matplotlib 的绘图模块，别名 pltimport scipy                    # 引入 SciPyfrom pint import UnitRegistry   # 从 Pint 引入单位注册表

为了展示这些库如何协同工作，我们来编写一个稍微复杂一点的程序，模拟并绘制经典的混沌系统，著名的洛伦兹吸引子，即“蝴蝶效应”的起源。

1. 概念介绍

1963年，气象学家爱德华·洛伦兹（Edward Lorenz）在用计算机模拟大气对流时，发现了一个奇特的现象：初始数据的微小差异（例如 0.506 和 0.506127）会随着时间推移被指数级放大，最终导致完全不同的结果。这便是混沌理论的基石——对初始条件的敏感依赖性，也就导致了后来简化的文学说法“一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。”

2. 公式推导

洛伦兹简化了大气对流的纳维-斯托克斯方程，得到了一个看起来非常简洁的三维非线性微分方程组：

3. 物理意义

在这个简化模型中，变量和参数都有具体的物理含义：

• 变量：
• ：流体对流的翻转速率。
• ：上升流与下降流之间的水平温差。
• ：垂直方向上的温度梯度偏差。
• 参数：
•  (Sigma)：普朗特数 (Prandtl number)，描述流体粘滞系数与热扩散系数的比值。
•  (Rho)：瑞利数 (Rayleigh number)，描述流体受热程度。当  超过临界值时，流体开始发生对流。
•  (Beta)：与流体容器几何形状相关的常数。

当参数取经典值  时，系统不再收敛于任何一个稳定点，而是围绕着两个“吸引子”盘旋，形成类似蝴蝶双翼的轨迹，且永远不会重复自己的路径。

4. 代码实现

在这个示例中，我们将综合运用本书介绍的所有核心库。为了让结果更直观，我们将同时生成：

1. 静态 3D 散点图：使用颜色映射展示速度变化。
2. 动态 GIF 动画：展示洛伦兹吸引子的形成过程和混沌特性。

你可以直接运行 code/00_lorenz_attractor.py 文件：

import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.integrate import odeintfrom matplotlib.animation import FuncAnimationfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dfrom mpl_toolkits.mplot3d.art3d import Line3DCollection# 1. 定义数学模型deflorenz_system(state, t, sigma=10.0, rho=28.0, beta=8.0/3.0):    x, y, z = statereturn [sigma * (y - x), x * (rho - z) - y, x * y - beta * z]# 2. 求解方程initial_state = [1.0, 1.0, 1.0]t = np.linspace(0, 50, 3000)states = odeint(lorenz_system, initial_state, t)df = pd.DataFrame(states, columns=['x', 'y', 'z'])# 计算速度用于颜色映射dx = np.diff(df['x'], prepend=df['x'].iloc[0])dy = np.diff(df['y'], prepend=df['y'].iloc[0])dz = np.diff(df['z'], prepend=df['z'].iloc[0])df['velocity'] = np.sqrt(dx**2 + dy**2 + dz**2)# 设置绘图风格plt.style.use('dark_background')# ==========================================# Part A: 静态 3D 散点图（无边框优化）fig_static = plt.figure(figsize=(10, 8), facecolor='black')ax_static = fig_static.add_subplot(111, projection='3d')ax_static.set_facecolor('black')# 绘制轨迹 (改为使用 Line3DCollection 以获得清晰连续的线条)points = np.array([df['x'], df['y'], df['z']]).T.reshape(-1, 1, 3)segments = np.concatenate([points[:-1], points[1:]], axis=1)# 创建彩色线条集合# 使用 'cool' colormap (青色到洋红) 在黑色背景下对比度极佳norm = plt.Normalize(df['velocity'].min(), df['velocity'].max())lc = Line3DCollection(segments, cmap='cool', norm=norm)lc.set_array(df['velocity'][:-1]) # 设置每段的颜色值lc.set_linewidth(1.5)             # 增加线宽lc.set_alpha(0.8)                 # 设置透明度# 添加到绘图区ax_static.add_collection(lc)# 关键：Line3DCollection 不会自动调整坐标轴范围，需手动设置ax_static.set_xlim(df['x'].min(), df['x'].max())ax_static.set_ylim(df['y'].min(), df['y'].max())ax_static.set_zlim(df['z'].min(), df['z'].max())# 添加嵌入式标题（避免外部标题导致边距）ax_static.text2D(0.5, 0.96, 'The Lorenz Attractor (Static)',                 transform=ax_static.transAxes,                color='white', fontsize=18, ha='center', va='top',                fontweight='bold')# 关闭坐标轴与边框ax_static.set_axis_off()ax_static.grid(False)ax_static.set_box_aspect([ub - lb for lb, ub in (getattr(ax_static, f'get_{a}lim')() for a in'xyz')])# 移除所有图形边距plt.subplots_adjust(left=0, right=1, top=1, bottom=0)# 保存：tight bbox + 零填充 + 黑色背景plt.savefig('00_lorenz_attractor.png',             bbox_inches='tight',             pad_inches=0,            dpi=150)plt.close(fig_static)# Part B: 动态 GIF 动画fig_anim = plt.figure(figsize=(10, 8), facecolor='black')ax_anim = fig_anim.add_subplot(111, projection='3d')ax_anim.set_facecolor('black')ax_anim.set_axis_off()ax_anim.grid(False)# 嵌入式标题（固定在视图内，避免裁剪）ax_anim.text2D(0.5, 0.96, 'The Lorenz Attractor\nChaos in Motion',               transform=ax_anim.transAxes,              color='white', fontsize=18, ha='center', va='top',              fontweight='bold', linespacing=1.4)# 设置坐标范围x_min, x_max = df['x'].min(), df['x'].max()y_min, y_max = df['y'].min(), df['y'].max()z_min, z_max = df['z'].min(), df['z'].max()ax_anim.set_xlim(x_min, x_max)ax_anim.set_ylim(y_min, y_max)ax_anim.set_zlim(z_min, z_max)ax_anim.set_box_aspect([x_max-x_min, y_max-y_min, z_max-z_min])# 初始化轨迹线与轨迹头line, = ax_anim.plot([], [], [], lw=1.5, color='#ff1aff', alpha=0.9)head, = ax_anim.plot([], [], [], 'o', color='white', markersize=5, alpha=0.9)# 移除所有图形边距（关键：避免动画抖动）plt.subplots_adjust(left=0, right=1, top=1, bottom=0)# 动画更新函数step = 8defupdate(frame):    idx = min(frame * step, len(df) - 1)    line.set_data(df['x'].values[:idx], df['y'].values[:idx])    line.set_3d_properties(df['z'].values[:idx])    head.set_data([df['x'].iloc[idx]], [df['y'].iloc[idx]])    head.set_3d_properties([df['z'].iloc[idx]])    ax_anim.view_init(elev=20, azim=frame * 0.6)return line, headframes = len(df) // stepani = FuncAnimation(fig_anim, update, frames=frames, interval=20, blit=False)# 保存动画：指定facecolor，不使用bbox_inches（避免帧间抖动）ani.save('https://raw.githubusercontent.com/cycleuser/cycleuser.github.io/refs/heads/main/img/MathPython/00_lorenz_animation.gif',          writer='pillow',          fps=30,         savefig_kwargs={'facecolor': 'black'})plt.close(fig_anim)

5. 可视化结果

我们首先得到了一张精美的静态全景图，通过颜色的深浅（速度大小）可以直观感受到系统的动态特性。

而通过动态 GIF，可以更好地观察到系统是如何从一个初始点开始，逐渐演化出复杂的混沌结构的。配合动态旋转的视角，整个过程如同在深空中观察一只蝴蝶。

总结

数学建模是连接现实与数学的桥梁，而 Python 则是我们搭建这座桥梁的现代化施工队。

准备开始动手，用代码构建一个个奇妙的数学模型试试吧。