统计学入门合集(基于Python)5——假设检验(Hypothesis Testing)

在前几节中，我们已经建立了：

• 描述统计（数据特征）
• 中心极限定理（分布基础）
• 参数估计（点估计 + 区间估计）

现在进入统计推断的核心问题：

如何基于样本，对一个“假设”做出决策？

1问题提出

设：

• 原假设（Null Hypothesis）：
• 备择假设（Alternative Hypothesis）：

例如：

👉 问题：

样本数据是否支持拒绝 ？

2决策视角

假设检验本质是一个二元决策问题：

两类错误

• 第一类错误（Type I）：错杀（false positive）
• 第二类错误（Type II）：漏检（false negative）

👉 关键：

我们只能控制 Type I Error

3显著性水平（α）

定义：

常用：

• 0.05
• 0.01

👉 工程理解：

α 是“误判风险预算”

4检验统计量（Test Statistic）

基于 CLT：

当 σ 未知：

5拒绝域（Reject Region）

双侧检验：

👉 含义：

如果观测值“过于极端”，则拒绝 

6Python验证

# file: hypothesis_test_basic.pyimport numpy as npfrom scipy import statsdefmain():    np.random.seed(0)    data = np.random.normal(10.5, 2, 30)    mu0 = 10    x_bar = np.mean(data)    s = np.std(data, ddof=1)    t_stat = (x_bar - mu0) / (s / np.sqrt(len(data)))    p_value = 2 * (1 - stats.t.cdf(abs(t_stat), df=29))    print("t统计量:", t_stat)    print("p-value:", p_value)if p_value < 0.05:        print("拒绝 H0")else:        print("不能拒绝 H0")if __name__ == "__main__":    main()

结果解释

• p-value 小 → 数据与  不一致
• p-value 大 → 数据不足以反对 

7p-value 的本质

定义：

❌ 常见误解：

• “p 是假设为真的概率”（错误）

✅ 正确理解：

p-value 衡量的是数据在  下的“罕见程度”

8可视化理解

# file: hypothesis_visualization.pyimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.stats import normdefmain():    x = np.linspace(-4,4,200)    y = norm.pdf(x)    z_obs = 2    plt.plot(x, y)    plt.fill_between(x, y, where=(x >= z_obs), alpha=0.3)    plt.fill_between(x, y, where=(x <= -z_obs), alpha=0.3)    plt.title("Rejection Region")    plt.show()if __name__ == "__main__":    main()

9仿真：错误率验证

# file: type1_error_simulation.pyimport numpy as npdefmain():    np.random.seed(0)    mu0 = 10    sigma = 2    n = 30    alpha = 0.05    count = 0    N_sim = 5000for _ in range(N_sim):        data = np.random.normal(mu0, sigma, n)        x_bar = np.mean(data)        z = (x_bar - mu0) / (sigma / np.sqrt(n))if abs(z) > 1.96:            count += 1    print("Type I error:", count / N_sim)if __name__ == "__main__":    main()

结果解释

• 输出 ≈ 0.05
• 验证显著性水平定义

10检验功效（Power）

定义：

👉 影响因素：

• 样本量 n
• 方差 σ
• 偏差大小

# file: power_analysis.pyimport numpy as npdefmain():    np.random.seed(0)    mu_true = 10.5    mu0 = 10    sigma = 2    n = 30    count = 0for _ in range(5000):        data = np.random.normal(mu_true, sigma, n)        x_bar = np.mean(data)        z = (x_bar - mu0) / (sigma / np.sqrt(n))if abs(z) > 1.96:            count += 1    print("Power:", count / 5000)if __name__ == "__main__":    main()

11工程意义

假设检验用于：

• A/B测试
• 医学试验
• 工程质量控制
• 风险决策

12本节总结

13下期预告

下一讲：

• 线性回归
• 最小二乘法
• 统计解释

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