用Python做数学案例(39)——北师大八上不等式引例:周长一定时,围成的正多边形边长与面积的关系

以“长为L的绳子围正方形和圆，比较面积大小”为问题情境，延伸探究周长固定的正多边形，边数与面积的变化关系，借助Excel、Python工具实现计算、绘图与规律可视化，纠正“边数越大面积越小”的错误认知，得出周长固定，正多边形边数越多，面积越大，趋近于圆的面积的核心结论。

教材再现

（1）掌握周长固定的正多边形面积计算公式；

（2）学会用Excel、Python进行数据计算、散点图绘制；

（3）通过图像直观发现：周长固定，正多边形边数越多，面积越大，无限趋近于圆。

（1）工具：Excel（自带公式、图表功能）、Python（基础编程，matplotlib绘图）；

（2）预设周长：学生可自主输入固定值( L )（如100cm、200cm）；

（3）边数范围：( n=3,4,5,...,100 )。

二、EXCEL方案

步骤1：输入基础数据

1、在A列设置边数n：A2输入3，A3输入4，下拉填充至A100，得到3~100的整数；

2、在B1单元格输入固定周长L（如100），可随意修改；

3、C列命名：正n边形面积S。

步骤2：输入面积计算公式

在C2单元格输入Excel公式（弧度制计算）：=$B$1^2/(4*A2*TAN(PI()/A2))

下拉填充至C100，自动计算所有边数对应的面积。

步骤3：绘制散点图/折线图

1、选中A1:C100数据区域；

2、插入散点图：横轴为边数n，纵轴为面积S；

3、图表优化：添加标题《周长固定时正多边形边数与面积的关系》，标注圆的面积作为参考线。

步骤4：观察规律

1、边数从3开始，面积随边数增加快速增大；

2、边数越大，面积增长越平缓，无限趋近于一个固定值（圆的面积）；

3、对比正方形、圆的面积，验证圆的面积最大。

步骤1：编写代码

核心功能：输入周长L→自动计算n=3~100的正多边形面积→绘制散点图→标注圆的面积。

import mathimport matplotlib.pyplot as plt# 1. 输入固定周长L（可修改）L = float(input("请输入绳子的长度L："))# 2. 定义边数范围：3到100n_list = range(3, 101)s_list = []# 3. 循环计算每个正n边形的面积for n in n_list:    # 正n边形面积公式    s = L ** 2 / (4 * n * math.tan(math.pi / n))    s_list.append(s)# 4. 计算圆的面积（参考值）s_circle = L ** 2 / (4 * math.pi)# 5. 绘制散点图plt.figure(figsize=(10, 6))plt.scatter(n_list, s_list, color='blue', s=20, label='area_of_regular_n-gon')plt.axhline(y=s_circle, color='red', linestyle='--', label=f'area of the circle={s_circle:.2f}')plt.xlabel('the number of sides of a regular n-gonn', fontsize=12)plt.ylabel('area:S', fontsize=12)plt.title(f'when perimeter={L}，The relationship between the number of sides and the area of a regular polygon', fontsize=14)plt.legend()plt.grid(True)plt.show()

步骤2：运行代码

1、输入绳子长度L（如100）；

2、程序自动生成横轴：边数3-100，纵轴：对应面积的散点图；

3、红色虚线为圆的面积，直观看到多边形面积无限趋近于虚线。

步骤3：数据分析与总结

1、对比三角形、正方形、五边形面积，验证边数越多面积越大；

2、 边数超过50后，面积几乎不再变化，与圆的面积几乎重合；

3、修正错误认知：周长固定，正多边形边数越多，面积越大，圆是边数无限多的正多边形，面积最大。