NumPy 进阶 — 矩阵、随机数与线性代数

🕐 预计用时：2-3 小时 ｜ 🎯 目标：掌握矩阵运算、随机数生成、统计函数和线性代数操作

📖 今日目录

1. 矩阵运算
2. 随机数生成
3. 统计函数
4. 线性代数
5. 数组变形与拼接
6. 文件读写
7. 性能优化技巧
8. 今日练习
9. 今日小结

1. 矩阵运算

import numpy as np# 矩阵乘法（线性代数中的乘法，不是逐元素）A = np.array([[1, 2],              [3, 4]])B = np.array([[5, 6],              [7, 8]])# 方法1：@ 运算符（推荐）C = A @ B# [[19 22]#  [43 50]]# 方法2：np.dot()C = np.dot(A, B)# 方法3：.dot() 方法C = A.dot(B)# 逐元素乘法（注意区分！）A * B# [[ 5 12]#  [21 32]]

# 矩阵的其他操作A = np.array([[1, 2], [3, 4]])np.linalg.inv(A)       # 逆矩阵np.linalg.det(A)       # 行列式 → -2.0np.trace(A)            # 迹（对角线之和）→ 5np.linalg.matrix_rank(A)  # 秩 → 2# 特征值与特征向量eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)print(eigenvalues)     # [-0.37  5.37]print(eigenvectors)

2. 随机数生成

import numpy as np# 设置随机种子（可复现）np.random.seed(42)# 均匀分布 [0, 1)np.random.random(5)           # 5 个 0-1 的随机数np.random.random((3, 3))      # 3x3 矩阵# 随机整数np.random.randint(1, 100, 5)         # 5 个 1-99 的随机整数np.random.randint(1, 100, (3, 4))    # 3x4 矩阵# 正态分布（高斯分布）np.random.randn(5)            # 标准正态分布（均值0，标准差1）np.random.randn(3, 3)         # 3x3 矩阵np.random.normal(100, 15, 5)  # 均值100，标准差15（模拟考试成绩）# 随机选择arr = np.array([10, 20, 30, 40, 50])np.random.choice(arr, 3)              # 从 arr 中随机选 3 个np.random.choice(arr, 3, replace=False)  # 不重复抽样np.random.choice(arr, (2, 3))         # 2x3 矩阵# 随机打乱deck = np.arange(52)np.random.shuffle(deck)     # 原地打乱（修改原数组）print(deck)# 随机排列（返回新数组）np.random.permutation(10)   # 0-9 的随机排列

💡 随机种子的重要性：np.random.seed(42) 设置种子后，每次运行生成的随机数相同——这对实验复现至关重要。在机器学习中，固定种子可以确保：每次训练结果一致，方便调试。

📌 NumPy 2.0+ 推荐写法：上面使用的 np.random.seed() 和 np.random.randn() 属于旧版 RandomState API，仍可使用但官方推荐改用新的 Generator API：rng = np.random.default_rng(42)rng.random(5)rng.normal(0, 1, 5)rng.integers(1, 100, 5)新 API 速度更快、分布更优，且每个 rng 对象独立管理种子，避免全局污染。

📋 常用分布

3. 统计函数

import numpy as npnp.random.seed(42)scores = np.random.normal(70, 15, (5, 3))  # 5 个学生，3 门课# 模拟成绩：均值70，标准差15# 基础统计np.mean(scores)                # 全体均值np.mean(scores, axis=0)        # 每门课的均值（按列）np.mean(scores, axis=1)        # 每个学生的均值（按行）np.median(scores)              # 中位数np.std(scores)                 # 标准差np.var(scores)                 # 方差np.ptp(scores)                 # 极差（最大值 - 最小值）# 分位数np.percentile(scores, 25)      # 第一四分位数（25%）np.percentile(scores, 50)      # 中位数（50%）np.percentile(scores, 75)      # 第三四分位数（75%）# 相关系数矩阵# 3 门课之间的相关性np.corrcoef(scores.T)          # 3x3 相关系数矩阵# 协方差矩阵np.cov(scores.T)               # 3x3 协方差矩阵# 直方图统计data = np.random.normal(0, 1, 1000)counts, bins = np.histogram(data, bins=10)print(f'区间: {bins}')print(f'频数: {counts}')

4. 线性代数

import numpy as npfrom numpy import linalg as LA# 解线性方程组# 2x + 3y = 8# 3x + 4y = 11A = np.array([[2, 3], [3, 4]])b = np.array([8, 11])x = LA.solve(A, b)print(x)  # [1. 2.] → x=1, y=2# 验证print(A @ x)  # [8. 11.] ✅# 向量范数（长度）v = np.array([3, 4])LA.norm(v)              # 5.0（L2范数，默认）LA.norm(v, 1)           # 7.0（L1范数，绝对值之和）LA.norm(v, np.inf)      # 4.0（无穷范数，最大绝对值）# 矩阵范数A = np.array([[1, 2], [3, 4]])LA.norm(A, 'fro')       # Frobenius 范数# 矩阵分解# SVD 分解（奇异值分解）U, S, Vt = LA.svd(A)print(f'U: {U.shape}, S: {S.shape}, Vt: {Vt.shape}')# QR 分解Q, R = LA.qr(A)# Cholesky 分解（正定矩阵）# LA.cholesky(A)  # A 必须是正定矩阵# 求解 Ax = b 的最小二乘解（超定方程组）A = np.array([[1, 1], [1, 2], [1, 3]])b = np.array([1, 2, 2.5])x, residuals, rank, sv = LA.lstsq(A, b, rcond=None)print(x)  # 最小二乘解

5. 数组变形与拼接

import numpy as np# === 变形 ===arr = np.arange(12)arr.reshape(3, 4)         # 3x4arr.reshape(4, 3)         # 4x3arr.reshape(2, -1)        # 2行，列自动算 → 2x6arr.reshape(-1, 6)        # 列6，行自动算 → 2x6arr.reshape(2, 3, 2)      # 三维 2x3x2# 展平arr2d = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])arr2d.flatten()            # [1 2 3 4 5 6]（返回副本）arr2d.ravel()              # [1 2 3 4 5 6]（返回视图）arr2d.reshape(-1)          # [1 2 3 4 5 6]（返回视图）# === 拼接 ===a = np.array([1, 2, 3])b = np.array([4, 5, 6])# 水平拼接（列方向）np.hstack([a, b])          # [1 2 3 4 5 6]np.concatenate([a, b])     # [1 2 3 4 5 6]（同上）# 垂直拼接（行方向）np.vstack([a, b])# [[1 2 3]#  [4 5 6]]# 二维拼接A = np.array([[1, 2], [3, 4]])B = np.array([[5, 6], [7, 8]])np.concatenate([A, B], axis=0)  # 按行拼 → 4x2np.concatenate([A, B], axis=1)  # 按列拼 → 2x4# === 分割 ===arr = np.arange(12)np.split(arr, 3)          # 均分为3份 → [0,1,2,3], [4,5,6,7], [8,9,10,11]np.split(arr, [3, 7])     # 在索引3和7处分割 → [0,1,2], [3,4,5,6], [7,8,9,10,11]np.hsplit(arr2d, 3)       # 水平分割（列方向）np.vsplit(arr2d, 2)       # 垂直分割（行方向）

6. 文件读写

import numpy as np# === 二进制格式（推荐，速度快）===arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])# 保存为 .npy 文件np.save('data.npy', arr)loaded = np.load('data.npy')# 保存多个数组为 .npz 文件np.savez('data.npz', a=arr, b=arr*2)data = np.load('data.npz')print(data['a'])print(data['b'])# === 文本格式（可读性好）===arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])# 保存为文本np.savetxt('data.txt', arr, fmt='%d', delimiter=',')loaded = np.loadtxt('data.txt', delimiter=',')# 从 CSV 读取# np.genfromtxt('data.csv', delimiter=',', skip_header=1)

7. 性能优化技巧

import numpy as npimport time# 技巧1：避免 Python 循环，用向量化# ❌ 慢def slow_mean(arr):    total = 0    for x in arr:        total += x    return total / len(arr)# ✅ 快def fast_mean(arr):    return np.mean(arr)# 技巧2：预分配数组，避免动态增长# ❌ 慢（不断拼接新数组）result = np.array([])for i in range(1000):    result = np.append(result, i)  # 每次创建新数组！# ✅ 快（预分配）result = np.zeros(1000)for i in range(1000):    result[i] = i# 技巧3：用 np.where 替代条件循环# ❌ 慢result = []for x in arr:    if x > 0:        result.append(x)    else:        result.append(0)# ✅ 快result = np.where(arr > 0, arr, 0)# 技巧4：就地操作（避免创建副本）# ❌ 创建新数组arr = arr + 1# ✅ 就地修改arr += 1# 技巧5：用广播替代循环# ❌ 双重循环for i in range(n):    for j in range(m):        C[i,j] = A[i] * B[j]# ✅ 广播C = A[:, np.newaxis] * B[np.newaxis, :]

8. 今日练习

🏋️ 练习 1：矩阵运算

# 解方程组：# x + 2y + 3z = 1# 2x + 5y + 2z = 3# 6x - 3y +  z = 2# 用 LA.solve() 求解

🏋️ 练习 2：随机模拟

# 用 NumPy 模拟抛硬币实验：# 抛 1000 次，每次抛 10 个硬币# 统计正面朝上的次数分布# 画出直方图（用 np.histogram）

🏋️ 练习 3：图像处理

# 用 NumPy 模拟图像操作：# 创建一个 10x10 的灰度图矩阵（0-255）# 实现：亮度+50、对比度翻转、裁剪中心区域、水平翻转

9. 今日小结

🚀 明日预告：Day 73 — Pandas 基础Series 和 DataFrame——数据分析师的 Excel 替代品。读取 CSV、查看数据、基础索引，数据科学的核心工具即将登场！