利用Python代码对一些力学上的定义和概念进行可视化

想当年，我因为种种原因从理科基地班被人清退了，跑到了普通的班级。有一门课，我大半学期都没赶上，可期末还得参加考试，于是就去听了几次课。那老师讲课，口音实在太重了，把"挠度"说成"老陆"，我基本上是听不懂的。当时还有个同学说他"嘴里有棉裤"。现在想想，这么说人家其实不太好，可当时确实是真听不明白。

说起来，现在有些高校在申请教师资格的时候，好像已经不要求普通话二级甲等以上了？有博士学位是不是就免了？记不太清这个标准了。但不管怎么说，还是希望高校教师能尽量把普通话说清楚，至少得让学生听懂。当时那位老师讲的东西，我好多都理解得不透，好在对付着考试算是过去了。

不过大学里应对考试是一回事，真学没学到东西又是另一回事。有的老师不负责任，直接给原题。有的学生觉得这老师好啊，给原题能过，然后就让大家背答案，ABCD对应1234，还真有孩子就背了。这可不是好事，到最后就是自己糊弄自己，根本没学明白，把1234背下来往那儿一放，既糊弄自己又糊弄家长。可孩子们那会儿不懂事，还觉得老师好。这种现象，除了抨击一下，也不好说别的。

咱只能想想自己当年没学好。后来我就打算再了解一下，补补课。这一补，就有了今天这些内容。本来想着严格对应地质现象来讲，可那样太专门、太枯燥，还显得有点太端着。何况我已经离地学很远了，所以就通用地讲讲这些概念，用代码画图，把力学里这些定义和概念直观地摆出来。

顺便说一句，这篇也想做个示范。我学的专业跟计算机离得挺远，可这些年靠着学的那点编程，画图、算数、验证想法，省了不少事。所以说，就算不是计算机相关专业，学一点编程相关内容，对学自己本专业的东西，往往也是能帮上忙的。

那这些概念到底是啥呢？一说材料力学、固体力学，很多人就头大，觉得全是公式。其实这几个最基础的概念，全是身边的事儿：拉一根橡皮筋，拧一个瓶盖，用扳手拧螺丝，掰一根钢筋。咱们今天就把应力、应变、力矩、力偶这几个词一个个拆开，配图配上代码，一次讲明白。

应力：单位面积上分摊到的力

先想一个画面：一根橡皮筋，你用手往两边拉。你觉得"手在用力"，可实际上，这股力不是集中在某一个点上，而是摊在整个截面上。把"力"除以"截面积"，就是应力（stress），记作 ：

单位是帕斯卡（Pa），也就是牛每平方米（N/m²）。一个大气压大概是十万帕，工程上常用兆帕（MPa）。

应力有两种最基础的：

• 正应力 ：力垂直作用在面上，拉是拉应力，压是压应力。
• 切应力 ：力贴着面（相切）蹭过去，就像拿刀片刮表面那样。

这概念一点都不玄。你站着不动，体重压在两脚上，脚底承受的那个"压强"，本质上就是一种正应力。穿细跟的鞋踩到别人脚，受力面积小，压强大——这就是应力大，挨踩的疼啊。

这张图左边是正应力：一个正方形小块，左右两边受拉力往外拽；右边是切应力：上下两个面被"错着刮"。中间那个  和 ，就是单位面积上分到的力。

下面的代码可以自己跑，画出同样的一张图：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib.patches as mpatchesimport osplt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Arial Unicode MS', 'Hiragino Sans GB', 'Heiti TC', 'Songti SC', 'Microsoft YaHei']plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falseos.makedirs('images', exist_ok=True)DARK = '#2c3e50'; RED = '#e74c3c'defforce_arrow(ax, x, y, dx, dy, color=RED, lw=2.2):    ax.add_patch(mpatches.FancyArrowPatch(        (x, y), (x+dx, y+dy), arrowstyle='-|>', mutation_scale=20, lw=lw, color=color))fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 5))s = 1.0ax = axes[0]  # 正应力ax.add_patch(mpatches.Rectangle((-s, -s), 2*s, 2*s, fc='#dff0f7', ec=DARK, lw=2))for y in (0.45, 0.0, -0.45):    force_arrow(ax, -s, y, -1.0, 0)    force_arrow(ax,  s, y,  1.0, 0)ax.text(0, 0, 'σ', ha='center', va='center', fontsize=24, color=DARK)ax.text(0, -2.0, '拉力 ÷ 截面积', ha='center', fontsize=13, color=RED)ax.set_xlim(-3, 3); ax.set_ylim(-2.5, 2.5); ax.set_aspect('equal'); ax.axis('off')ax.set_title('正应力 σ：力垂直作用在面上', fontsize=15)ax = axes[1]  # 切应力ax.add_patch(mpatches.Rectangle((-s, -s), 2*s, 2*s, fc='#fdf0d6', ec=DARK, lw=2))for x in (-0.45, 0.0, 0.45):    force_arrow(ax, x,  s, 0,  1.0)    force_arrow(ax, x, -s, 0, -1.0)ax.text(0, 0, 'τ', ha='center', va='center', fontsize=24, color=DARK)ax.text(0, -2.0, '切向力 ÷ 截面积', ha='center', fontsize=13, color=RED)ax.set_xlim(-3, 3); ax.set_ylim(-2.5, 2.5); ax.set_aspect('equal'); ax.axis('off')ax.set_title('切应力 τ：力平行作用在面上', fontsize=15)fig.suptitle('应力 = 单位面积上分摊到的力', fontsize=17, y=1.02)fig.tight_layout()plt.savefig('images/stress.png', dpi=150, bbox_inches='tight')

应变：变形量除以原来的尺寸

光有力还不够，还得看东西被"抻"了多少。一根橡皮筋原长 ，拉长了 ，那"变形程度"就是应变（strain）：

关键是除以原来的长度，这样不管东西本身多长，都能拿同一把尺子比较变形的剧烈程度。应变没有单位，是个比值。

跟应力对应，应变也有正应变和切应变：

• 正应变 ：拉长或压短的比例。
• 切应变 ：形状被"剪切"倾斜的程度，就是那个角度的变化量。

左图：虚线是原来的样子，实线是拉长之后的，标了原长  和伸长量 。右图：虚线是原来的方块，实线是被"错开"了的平行四边形，顶边整体滑移了一段，那个绿色的小角度  就是切应变。

代码也不长：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib.patches as mpatchesimport osplt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Arial Unicode MS', 'Hiragino Sans GB', 'Heiti TC', 'Songti SC', 'Microsoft YaHei']plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falseos.makedirs('images', exist_ok=True)DARK = '#2c3e50'; RED = '#e74c3c'; BLUE = '#2980b9'; GRAY = '#95a5a6'; GREEN = '#2ecc71'defforce_arrow(ax, x, y, dx, dy, color=RED, lw=2.2):    ax.add_patch(mpatches.FancyArrowPatch(        (x, y), (x+dx, y+dy), arrowstyle='-|>', mutation_scale=20, lw=lw, color=color))fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 5))L = 2.0; dL = 0.8ax = axes[0]  # 正应变ax.add_patch(mpatches.Rectangle((-L/2, -0.6), L, 1.2, fill=False, ls='--', ec=GRAY, lw=1.8))ax.add_patch(mpatches.Rectangle((-L/2, -0.6), L+dL, 1.2, fc='#dff0f7', ec=BLUE, lw=2))for y in (0.3, -0.3):    force_arrow(ax, -L/2, y, -0.9, 0)    force_arrow(ax,  L/2+dL, y, 0.9, 0)ax.annotate('', xy=(L/2+dL, 1.35), xytext=(L/2, 1.35),            arrowprops=dict(arrowstyle='<->', color=BLUE, lw=1.6))ax.text(L/2+dL/2, 1.6, 'ΔL（伸长量）', ha='center', fontsize=12, color=BLUE)ax.annotate('', xy=(0.9, -1.1), xytext=(-0.9, -1.1),            arrowprops=dict(arrowstyle='<->', color=GRAY, lw=1.6))ax.text(0, -1.5, '原长 L', ha='center', fontsize=12, color=GRAY)ax.text(L/2+dL+0.3, 0, 'ε = ΔL / L', ha='left', va='center', fontsize=14, color=DARK)ax.set_xlim(-3.3, 5.5); ax.set_ylim(-2.2, 2.2); ax.set_aspect('equal'); ax.axis('off')ax.set_title('正应变 ε：拉长（或压短）的比例', fontsize=15)ax = axes[1]  # 切应变shift = 0.9ax.add_patch(mpatches.Rectangle((-L/2, -0.6), L, 1.2, fill=False, ls='--', ec=GRAY, lw=1.8))corners = [(-L/2, -0.6), (L/2, -0.6), (L/2+shift, 0.6), (-L/2+shift, 0.6)]ax.add_patch(mpatches.Polygon(corners, closed=True, fc='#fdf0d6', ec=BLUE, lw=2))for x in (0.0, 0.45, 0.9):    force_arrow(ax, x-0.6, 0.6, 0, 0.85)    force_arrow(ax, x-0.6+L, -0.6, 0, -0.85)ang = np.degrees(np.arctan2(shift, L))ax.add_patch(mpatches.Arc((-L/2, -0.6), 0.9, 0.9, theta1=0, theta2=ang, color=GREEN, lw=2))ax.text(-L/2+0.55, -0.6+0.22, 'γ', fontsize=16, color=GREEN)ax.text(-L/2+shift/2, 1.35, '上边沿横向滑移', ha='center', fontsize=12, color=BLUE)ax.text(L/2+1.9, 0, 'γ = 滑移量 / 高度', ha='left', va='center', fontsize=13, color=DARK)ax.set_xlim(-2.2, 5.8); ax.set_ylim(-2.2, 2.4); ax.set_aspect('equal'); ax.axis('off')ax.set_title('切应变 γ：形状发生"剪切"倾斜', fontsize=15)fig.suptitle('应变 = 变形量与原来尺寸的比值', fontsize=17, y=1.02)fig.tight_layout()plt.savefig('images/strain.png', dpi=150, bbox_inches='tight')

应力除以应变，就是弹性模量 ，。它衡量材料"有多硬"——同样抻它，应力涨得快的，就是难拉动的硬材料。在弹性阶段，胡克定律成立：。这不就是中学学的弹簧嘛，F 换成 σ，伸长量换成 ε，比例系数换成 E。

应力-应变曲线：每种材料各有各的"脾气"

把一根材料样品慢慢拉，一边记录应力一边记录应变，画出来的就是应力-应变曲线。这条曲线基本就是材料的"性格画像"。

图里粗略画了三种典型材料：

• 低碳钢（韧性材料）：先是笔直的弹性段，撤力就复原；然后到屈服点 ，过了这点材料就"回不去了"，产生永久变形，曲线上有个平台；再往后是强化阶段，能扛的应力继续涨到抗拉强度 ；最后某处开始变细（颈缩），没扛多久就断了。整个过程"能屈能伸"，断之前有大量变形预警，这就是韧性。
• 铸铁（脆性材料）：几乎是一条直线，没怎么变形，"咔嚓"一下就断了。看着硬，其实很脆，没有预警。
• 橡胶（高弹性材料）：弹性模量很小，软，能抻出好几倍的长度不断，曲线是条往上翘的弧线。

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport osplt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Arial Unicode MS', 'Hiragino Sans GB', 'Heiti TC', 'Songti SC', 'Microsoft YaHei']plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falseos.makedirs('images', exist_ok=True)DARK = '#2c3e50'; BLUE = '#2980b9'; RED = '#e74c3c'; GREEN = '#2ecc71'fig, ax = plt.subplots(figsize=(11, 6))# 低碳钢：弹性→屈服平台→强化→颈缩→断裂ey, sy = 0.002, 400.0E = sy / eye1 = np.linspace(0, ey, 60); s1 = E * e1e2 = np.linspace(ey, 0.02, 40); s2 = np.full_like(e2, sy)t = np.linspace(0, 1, 120) ** 0.9e3 = 0.02 + (0.18 - 0.02) * t; s3 = sy + (600 - sy) * tt2 = np.linspace(0, 1, 60) ** 1.4e4 = 0.18 + (0.22 - 0.18) * t2; s4 = 600 - (600 - 500) * t2ax.plot(np.concatenate([e1, e2, e3, e4]), np.concatenate([s1, s2, s3, s4]),        color=BLUE, lw=2.4, label='低碳钢（韧性材料）')# 铸铁（脆性）e_ci = np.linspace(0, 0.0045, 60)s_ci = np.clip(38000 * e_ci * (1 - 8 * e_ci), 0, 140)ax.plot(e_ci, s_ci, color=RED, lw=2.4, label='铸铁（脆性材料）')# 橡胶（高弹性）e_r = np.linspace(0, 4.0, 120)ax.plot(e_r, 3.2 * (np.exp(0.75 * e_r) - 1), color=GREEN, lw=2.4, label='橡胶（高弹性材料）')ax.scatter([ey], [sy], color=BLUE, s=40, zorder=5)ax.annotate('屈服点 σy', xy=(ey, sy), xytext=(0.05, 620),            arrowprops=dict(arrowstyle='->', color=DARK), fontsize=12)ax.annotate('抗拉强度 σu', xy=(0.18, 600), xytext=(0.13, 500),            arrowprops=dict(arrowstyle='->', color=DARK), fontsize=12)ax.annotate('断裂', xy=(0.22, 500), xytext=(0.13, 180),            arrowprops=dict(arrowstyle='->', color=DARK), fontsize=12)ax.text(0.0004, 300, '弹性阶段\n（撤力就复原）', fontsize=11, color=BLUE)ax.text(0.10, 520, '强化阶段', fontsize=12, color=BLUE)ax.text(0.20, 360, '颈缩', fontsize=12, color=BLUE)ax.text(0.0004, 100, '脆性材料：\n没怎么变形就断了', fontsize=11, color=RED)ax.text(1.6, 40, '橡胶：\n能抻好几倍不断', fontsize=11, color=GREEN)ax.set_xlabel('应变 ε', fontsize=13)ax.set_ylabel('应力 σ（MPa）', fontsize=13)ax.set_title('应力-应变曲线：不同材料各有各的"脾气"', fontsize=15)ax.set_xlim(0, 4.3); ax.set_ylim(0, 700); ax.grid(True, alpha=0.3)ax.legend(loc='lower right', fontsize=11)fig.tight_layout()plt.savefig('images/ss_curve.png', dpi=150, bbox_inches='tight')

工程上选材料，就是在看这条曲线：要扛得住别断，看强度；要能变形缓冲不断，看韧性；要硬，看弹性模量。

力矩：让物体转动的"扭转本领"

前面说的力，是让物体平移的。可拧螺丝、开门、转方向盘，需要的不是"拽"，而是"拧"。拧的本事叫力矩（moment，也叫扭矩），公式是：

 是力， 是力臂——从转动轴到力的作用线的垂直距离。单位是牛米（N·m）。

图上这个扳手最好理解了：螺母转轴在左端，你在扳手末端用力 F 往下压。力臂 d 就是转轴到那条竖直力作用线的垂直距离。力矩让扳手绕着螺母转。

这里面有个特别实用的结论：力臂越长越省力。所以加长扳手（或者套一根管子加长力臂）就能撬动更紧的螺丝；门把手都装在离合页远远的一边，开起来才省劲。这些都是力矩  在起作用。

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib.patches as mpatchesimport osplt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Arial Unicode MS', 'Hiragino Sans GB', 'Heiti TC', 'Songti SC', 'Microsoft YaHei']plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falseos.makedirs('images', exist_ok=True)DARK = '#2c3e50'; RED = '#e74c3c'; BLUE = '#2980b9'; GREEN = '#2ecc71'; GRAY = '#95a5a6'fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))ax.add_patch(mpatches.Circle((0, 0), 0.32, fc='#bdc3c7', ec=DARK, lw=2))ax.add_patch(mpatches.Circle((0, 0), 0.14, fc=DARK))ax.plot([0, 3.4], [0, 0.65], color=DARK, lw=8, solid_capstyle='round')fx, fy = 3.4, 0.65ax.add_patch(mpatches.FancyArrowPatch((fx, fy+0.9), (fx, fy-0.6),             arrowstyle='-|>', mutation_scale=20, lw=3, color=RED))ax.text(fx+0.18, fy+0.45, '力 F', fontsize=15, color=RED)ax.plot([0, 3.4], [0, 0], color=BLUE, lw=1.4, ls='--')ax.annotate('', xy=(3.4, 0.42), xytext=(3.4, -0.42),            arrowprops=dict(arrowstyle='<->', color=BLUE, lw=1.6))ax.text(3.5, 0.05, '力臂 d', fontsize=14, color=BLUE, ha='left')# 转动方向：力向下压，扳手绕螺母顺时针转th = np.linspace(np.radians(15), np.radians(-75), 80)ax.plot(1.0*np.cos(th), 1.0*np.sin(th), color=GREEN, lw=2.2, solid_capstyle='round')t = np.radians(-75)ax.add_patch(mpatches.RegularPolygon((1.0*np.cos(t), 1.0*np.sin(t)), 3, radius=0.10,             orientation=np.radians(np.degrees(np.arctan2(-np.cos(t), np.sin(t)))), color=GREEN))ax.text(0.25, -0.75, 'M = F × d', fontsize=16, color=GREEN, fontweight='bold')ax.text(0.3, -1.15, '（力臂越长越省力）', fontsize=12, color=GREEN)ax.text(0, -2.0, '固定螺母', ha='center', fontsize=12, color=GRAY)ax.set_xlim(-1.3, 5.2); ax.set_ylim(-2.4, 2.0); ax.set_aspect('equal'); ax.axis('off')ax.set_title('力矩（扭矩）：让物体转动的"扭转本领"', fontsize=15)fig.tight_layout()plt.savefig('images/moment.png', dpi=150, bbox_inches='tight')

力偶：一对力，只转不挪

有时候你会碰上一种特殊的"拧法"：两个大小相等、方向相反的力，平行但不共线，一起作用在一个物体上。这一对力叫力偶（couple）。

图上这块东西，左边一个力往上拽，右边一个大小一样、方向相反的力往下压。两股力加起来合力正好是零——所以它不会整体移动；但这一拽一压，恰好让它一个劲地转。这种"只转不挪"的效果，叫力偶矩：

 是那两个力之间的垂直距离。有意思的是，力偶矩跟你的参考点选在哪无关，只要这一对力在，拧的效果就是固定的。拧瓶盖、双手搓方向盘、拧毛巾，靠的全是力偶。

下面这张动图更直观，力偶作用在一个方块上，方块就这么转起来了，可它的位置一直没挪：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib.patches as mpatchesfrom matplotlib.animation import FuncAnimationimport osplt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Arial Unicode MS', 'Hiragino Sans GB', 'Heiti TC', 'Songti SC', 'Microsoft YaHei']plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falseos.makedirs('images', exist_ok=True)DARK = '#2c3e50'; RED = '#e74c3c'fig, ax = plt.subplots(figsize=(5.0, 5.0))frames = 30; W, H = 2.2, 1.0defdraw_frame(i):    ax.clear()    ang = -np.radians(i * 360 / frames)   # 左手上推、右手下压，整体顺时针转    R = np.array([[np.cos(ang), -np.sin(ang)], [np.sin(ang), np.cos(ang)]])    corners = np.array([[-W/2, -H/2], [W/2, -H/2], [W/2, H/2], [-W/2, H/2]])    ax.add_patch(mpatches.Polygon(corners @ R.T, closed=True, fc='#dff0f7', ec=DARK, lw=2))    p1 = np.array([-W/2, 0]) @ R.T    p2 = np.array([ W/2, 0]) @ R.T    v = np.array([0, 1]) @ R.T    ax.add_patch(mpatches.FancyArrowPatch(p1, p1 + v, arrowstyle='-|>', mutation_scale=22, lw=2.6, color=RED))    ax.add_patch(mpatches.FancyArrowPatch(p2, p2 - v, arrowstyle='-|>', mutation_scale=22, lw=2.6, color=RED))    ax.text(0, 0, '力偶矩 M\n只转动，不移动', ha='center', va='center', fontsize=12, color=DARK)    ax.set_xlim(-2.3, 2.3); ax.set_ylim(-2.3, 2.3); ax.set_aspect('equal'); ax.axis('off')anim = FuncAnimation(fig, draw_frame, frames=frames, interval=60)anim.save('images/couple_rotate.gif', writer='pillow', fps=15)

串起来记

把这几个概念用一句话串起来：

应力是单位面积上分摊到的力，应变是变形量相对于原尺寸的比例；力矩是力乘力臂的"拧"的本领，力偶是一对力只转不挪的拧法。

公式不用死记，把图看明白就行：应力应变说的是一块材料内部"扛了多少、变了多少"，力矩力偶说的是"拿什么拧、怎么拧"。这几个概念弄明白了，回头再看受力、变形的各种例子，就不至于两眼一抹黑。

写这篇，除了讲清楚这几个概念，其实更想做个示范：就算不是计算机相关专业，也完全可以考虑学一点编程相关内容。拿它当个趁手的工具，画个图、算个数、验证一下想法，学自己专业的东西，往往也能帮上不少忙。这活儿不挑专业，门槛也没想象中那么高，有兴趣就能上手。

配图生成的完整代码就在上面的各个代码块里，复制就能跑。要是有讲得不清楚的地方，欢迎指正。