嵌入式编程中的定点数

1. 概述 (Overview)

• 定义：定点数是一种在二进制计算机架构上表示数字的方法。它允许像浮点数（float/double）一样存储带有小数点的数值，但计算速度更快。
• 权衡：定点数的主要优势是计算时间更短（特别是在没有浮点运算单元FPU的硬件上），但代价是精度较低且灵活性不如浮点数。
• 本质：普通整数其实是定点数的一个特例，即小数点位于最低有效位（LSB）的右侧。例如，32位无符号整数可以看作是 fp(32, 0)。
• 编程支持：大多数编程语言和硬件本身不直接支持定点数数据类型（虽然有第三方库）。C++ 相比 C 语言的优势在于支持运算符重载，可以编写类库让定点数的加减乘除像原生类型一样直观。

2. 表示法 (Notation)

• 文章使用 Q记法（Q-format）来描述定点数：。
• ：整数位（integer bits）的数量。
• ：小数位（fractional bits）的数量。
• 示例： 代表一个32位的定点数，其中24位用于整数部分，8位用于小数部分。

3. 软件存储方式 (How We Store Them In Software)

• 定点数在软件底层是直接作为常规整数（signed 或 unsigned）存储的。
• 原理：数值被缩放了  倍。
• 示例：在  格式（16位）中存储数值 6.5：
• 计算：
• 存储：内存中存储的整数值为 26624（二进制 0110 1000 0000 0000）。
• 高4位是整数部分（6 -> 0110），低12位是小数部分（0.5 -> 1000...）。

4. 范围与精度 (Range & Precision)

• 范围 (Range)：
• 例： (8位) 范围是 -16 到 15.875。
• 例： (8位) 范围是 0 到 31.875。
• 无符号： 到 。
• 有符号： 到 。
• 精度 (Precision)：
• 完全由小数位数  决定，精度等于 （即最小可表示的非零值）。
• 例： 的精度是 。

5. 类型转换 (Converting To Fixed-Point)

• 整数转定点数：
• 方法：将整数左移  位。
• 代码：rawVal = integer << numFracBits;
• 浮点数（Double）转定点数：
• 方法：将浮点数乘以缩放因子 （即 1 << f），然后强制转换为整数。
• 代码：return (int32_t)(f * (double)(1 << q));

6. 定点数数学运算 (Mathematical Operations)

定点数运算本质上是整数运算，但在乘除法时需要处理缩放因子。

A. 加法与减法 (Adding/Subtracting)

• 相同精度：直接相加减，无需额外处理。
• 注意：结果需要多一位整数位以防溢出。
• 不同精度：必须通过位移操作将其中一个数转换为与另一个数相同的精度（通常会有精度损失或溢出风险），然后再相加。

B. 乘法 (Multiplying)

• 结果位宽：两个定点数相乘，结果的整数位和小数位分别是两个操作数对应位数的和。
• 溢出风险：直接相乘容易导致中间结果溢出。
• 解决方案：
1. 将操作数转换为更宽的类型（如两个 int32_t 相乘，先强转为 int64_t）。
2. 执行乘法。
3. 将结果右移  位（假设需要恢复到原来的小数位数）。
4. 代码示例：int32_t res = ((int64_t)fp1 * fp2) >> 24;

C. 除法 (Division)

• 原理：类似于乘法，需要调整缩放因子。直接除法会丢失小数部分。
• 步骤：
1. 将被除数（fp1）左移 位（）。
2. 除以除数（fp2）。
3. 结果即为由于定点数格式。
• 溢出注意：左移操作可能导致溢出，同样建议使用更大的整数类型（如 int64_t）作为中间存储。

D. 取模 (Modulus)

• 如果两个定点数的小数位数相同，直接对底层整数进行取模运算即可（% 运算符）。
• 结果是正确的，例如 7.0 % 3.0 在定点数表示下直接运算会得到 1.0。

E. 倒数 (Inverse)

• 求倒数即计算 。
• 可以通过标准的定点除法实现：将数字 1 转换为定点格式（左移  位），然后再应用除法逻辑，或者直接理解为 (1 << (2*f)) / fp_val。