【一起学Python】第87天:NumPy线性代数入门,矩阵运算不再难!

import numpy as np# 创建向量（1维数组）vector = np.array([1, 2, 3])print("向量:", vector)print("形状:", vector.shape)  # (3,)# 创建矩阵（2维数组）matrix = np.array([[1, 2, 3],                    [4, 5, 6]])print("矩阵:\n", matrix)print("形状:", matrix.shape)  # (2, 3)

A = np.array([[1, 2, 3],               [4, 5, 6]])print("形状:", A.shape)        # (2, 3)print("维度数:", A.ndim)        # 2print("元素总数:", A.size)      # 6print("转置形状:", A.T.shape)   # (3, 2)

A = np.array([[1, 2],               [3, 4]])  # 2×2B = np.array([[5, 6],               [7, 8]])  # 2×2# 方法1：使用 @ 操作符（推荐！）C1 = A @ B# 方法2：使用 np.dot()C2 = np.dot(A, B)print("矩阵乘法结果:\n", C1)# 输出:# [[19 22]#  [43 50]]

1×5 + 2×7 = 5 + 14 = 19 ✅

# ❌ 错误示例A = np.array([[1, 2, 3]])  # 1×3B = np.array([[4, 5]])     # 1×2# result = A @ B  # ValueError: 形状不匹配！# ✅ 正确示例B_T = B.T  # 转置后变为 2×1result = A @ B_T  # 1×3 @ 3×1 = 1×1 ✅

M = np.array([[1, 2, 3],               [4, 5, 6]])print("原矩阵:\n", M)print("转置后:\n", M.T)# 输出:# [[1 4]#  [2 5]#  [3 6]]

A = np.array([[1, 2],               [3, 4]])# 先判断是否可逆：计算行列式det = np.linalg.det(A)print("行列式:", det)  # -2.0 ≠ 0 → 可逆 ✅# 计算逆矩阵A_inv = np.linalg.inv(A)print("逆矩阵:\n", A_inv)# 输出:# [[-2.   1. ]#  [ 1.5 -0.5]]# 验证：A @ A_inv ≈ 单位矩阵identity = A @ A_invprint("验证结果:\n", np.round(identity, 10))# 输出:# [[1. 0.]#  [0. 1.]]

A @ v = λ @ v

A = np.array([[4, 2],               [1, 3]])# 计算特征值和特征向量eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)print("特征值:", eigenvalues)# 输出: [5. 2.]print("特征向量:\n", eigenvectors)# 输出:# [[ 0.89442719 -0.70710678]#  [ 0.4472136   0.70710678]]# 验证：A @ v ≈ λ @ vv1 = eigenvectors[:, 0]  # 第一个特征向量λ1 = eigenvalues[0]       # 第一个特征值print("A @ v1:", A @ v1)print("λ1 @ v1:", λ1 * v1)print("是否相等:", np.allclose(A @ v1, λ1 * v1))  # True ✅

# 模拟2维数据（100个样本）np.random.seed(42)X = np.random.multivariate_normal(    mean=[0, 0],     cov=[[3, 1], [1, 1]],     size=100)# 1. 中心化（减去均值）X_centered = X - np.mean(X, axis=0)# 2. 计算协方差矩阵cov_matrix = np.cov(X_centered.T)# 3. 计算特征值和特征向量eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(cov_matrix)# 4. 按特征值降序排序，取最大特征值对应的特征向量（主成分）idx = eigenvalues.argsort()[::-1]principal_component = eigenvectors[:, idx[0]]print("主成分方向:", principal_component)print("解释方差比例:", eigenvalues[idx[0]] / np.sum(eigenvalues))

2x + 3y = 84x + 5y = 14

import numpy as np# 系数矩阵 AA = np.array([[2, 3],               [4, 5]])# 常数项向量 bb = np.array([8, 14])# 方法1：使用逆矩阵（理论方法）x_inv = np.linalg.inv(A) @ bprint("解（逆矩阵法）:", x_inv)  # [1. 2.]# 方法2：使用np.linalg.solve（推荐！数值更稳定）x_solve = np.linalg.solve(A, b)print("解（solve法）:", x_solve)  # [1. 2.]# 验证print("验证:", A @ x_solve)  # [ 8. 14.] ✅

# 模拟数据：y = 2x + 1 + 噪声x_data = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y_data = 2 * x_data + 1 + np.random.randn(5) * 0.5# 构建设计矩阵 [x, 1]X = np.column_stack([x_data, np.ones_like(x_data)])# 最小二乘解：(XᵀX)⁻¹Xᵀycoeffs = np.linalg.solve(X.T @ X, X.T @ y_data)print("拟合参数 [斜率, 截距]:", coeffs)# 输出示例: [2.05 0.92] ≈ [2, 1] ✅

import numpy as np# 矩阵乘法A = np.array([[1, 2], [3, 4]])B = np.array([[5, 6], [7, 8]])print("A @ B:\n", A @ B)# 判断可逆性C = np.array([[1, 2], [2, 4]])det_C = np.linalg.det(C)print("行列式:", det_C)  # 0 → 不可逆 ❌# 特征值计算D = np.array([[3, 1], [1, 3]])vals, vecs = np.linalg.eig(D)print("特征值:", vals)  # [4. 2.]