用 Python 揭秘均值回归策略：你的收益从何而来？

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引言

你有没有想过这样一个问题：今天比特币涨了，明天是更可能继续涨，还是更可能跌回去？

这背后其实藏着一个金融领域的核心命题——时间序列到底有没有「记忆」。传统的统计方法在面对带有趋势、非平稳的真实金融数据时常常力不从心，而去趋势波动分析（Detrended Fluctuation Analysis，简称 DFA）正是为解决这一难题而生的利器。

DFA 被广泛应用于金融、生物、物理等多个领域，它最大的优势在于：即使数据存在趋势和非平稳性，它依然能稳健地刻画出序列内部的长程相关性。本文将带你用 Python 一步步实现 DFA，并以真实的比特币数据为例，亲手算出它的「记忆指数」。

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一、DFA 到底在做什么

DFA 的核心目标是识别非平稳时间序列的标度特性（scaling properties），也就是观察数据的波动如何随着时间尺度的变化而变化。

整个算法可以拆解为四个关键步骤：

1. 1. 对数据做累积求和
2. 2. 对数据进行去趋势处理
3. 3. 计算波动函数
4. 4. 估计 DFA 标度指数 

下面我们逐一拆解。

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二、第一步：累积求和

第一步是计算时间序列的累积和，这一步会先把均值从数据中扣除。其数学表达式为：

y(t) = Σ (xᵢ − ⟨x⟩)，其中 i 从 1 到 t

这里的  表示整个序列的均值。通过累积求和，原本围绕均值波动的序列被转换成了一条类似「随机游走」轨迹的曲线，便于后续分析。

import numpy as np

def cumulative_sum(x):
    # 先减去均值，再做累积求和，得到「轮廓曲线」
    return np.cumsum(x - np.mean(x))

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三、第二步：分段去趋势并计算局部波动

接下来，我们把累积和序列切分成若干个长度为  的互不重叠的分段，并对每个分段单独做一次线性回归，用拟合出来的直线去除该段的趋势。

对于每一个分段：

• • 数据点为 X = (x₁, x₂, …, xₙ)
• • 拟合直线为 Y = slope · t + intercept

去趋势后的残差为：

x(t) = X(t) − Y(t)

然后计算该分段相对于局部趋势的均方根偏差，得到这一段的波动值 ：

F(n, i) = sqrt( (1/n) · Σ (xₜ − Yₜ)² )

import numpy as np
from numpy.lib.stride_tricks import as_strided

def calc_rms(x, scale):
    # 将序列切成 (段数, scale) 的二维视图，每行就是一个分段
    shape = (x.shape[0] // scale, scale)
    X = as_strided(x, shape=shape)

    scale_ax = np.arange(scale)            # 分段内的横坐标 0,1,2,...
    rms = np.zeros(X.shape[0])             # 用于存放每段的均方根偏差

    for e, xcut in enumerate(X):
        coeff = np.polyfit(scale_ax, xcut, 1)   # 一阶线性回归，得到趋势
        xfit = np.polyval(coeff, scale_ax)      # 计算拟合直线上的值
        rms[e] = np.sqrt(np.mean((xcut - xfit) ** 2))  # 去趋势残差的 RMS

    return rms

小贴士：这里用 as_strided 是为了高效切分数据，但它直接操作内存视图，使用时务必保证 scale 能整除数据长度，否则可能读到越界数据。对新手而言，用普通切片循环更安全。

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四、第三步：计算总体波动函数

把同一个尺度  下所有分段的波动值汇总，再取均方根，就得到了该尺度对应的总体波动函数 ：

F(n) = sqrt( (1 / (N/n)) · Σ F(n, i)² )

def calculate_fluctuations(y, scales):
    fluct = np.zeros(len(scales))          # 存放每个尺度对应的总体波动
    for e, sc in enumerate(scales):
        # 对每个尺度，计算所有分段 RMS 的均方根，得到总体波动
        fluct[e] = np.sqrt(np.mean(calc_rms(y, sc) ** 2))
    return fluct

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五、第四步：估计 DFA 标度指数

最后一步，我们在双对数坐标下，对波动函数与尺度做线性拟合，拟合直线的斜率就是我们梦寐以求的 DFA 标度指数 ：

log F(n) = α · log n + β

def dfa(x, scale_lim=[5, 9], scale_dens=0.25, show=False):
    y = cumulative_sum(x)                  # 第一步：累积求和
    # 以 2 的幂次生成一系列时间尺度（窗口大小）
    scales = (2 ** np.arange(scale_lim[0], scale_lim[1], scale_dens)).astype(int)

    fluct = calculate_fluctuations(y, scales)   # 计算各尺度的波动函数

    # 在双对数坐标下做线性拟合，斜率 coeff[0] 即为标度指数 alpha
    coeff = np.polyfit(np.log2(scales), np.log2(fluct), 1)

    if show:
        plt.loglog(scales, fluct, 'bo')
        plt.loglog(scales, 2 ** np.polyval(coeff, np.log2(scales)),
                   'r', label=r'$\alpha$ = %0.2f' % coeff[0])
        plt.title('DFA')
        plt.xlabel('log10(time window)')
        plt.ylabel('log10 <F(t)>')
        plt.legend()
        plt.show()

    return scales, fluct, coeff[0]

易错点提醒：原始代码中使用了 np.int，但它在较新版本的 NumPy 中已被移除，直接运行会报错。上面的代码已替换为内置的 int，这是实际跑通代码时最容易踩的坑之一。

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六、标度指数 α 怎么读

 可以看作是经典 Hurst 指数的推广，它的取值直接告诉我们序列的自相关结构：

• • α < 0.5：反相关，涨了之后倾向于跌（均值回归）
• • α = 0.5：无相关，即白噪声
• • α > 0.5：正相关，趋势倾向于延续（持续性）
• • α = 1：1/f 噪声，也叫粉红噪声
• • α > 1：非平稳、无界
• • α = 1.5：布朗噪声

直觉上理解：因为长度为  的无相关随机游走，其期望位移大致按  增长，所以  恰好对应白噪声；当  落在 0 到 1 之间时，结果对应于分数高斯噪声。

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七、完整案例：分析比特币 5 年日线

下面把所有模块拼起来，应用到过去 5 年的比特币日线收益率上：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.lib.stride_tricks import as_strided

def cumulative_sum(x):
    return np.cumsum(x - np.mean(x))

def calc_rms(x, scale):
    shape = (x.shape[0] // scale, scale)
    X = as_strided(x, shape=shape)
    scale_ax = np.arange(scale)
    rms = np.zeros(X.shape[0])
    for e, xcut in enumerate(X):
        coeff = np.polyfit(scale_ax, xcut, 1)   # 线性回归求趋势
        xfit = np.polyval(coeff, scale_ax)
        rms[e] = np.sqrt(np.mean((xcut - xfit) ** 2))
    return rms

def calculate_fluctuations(y, scales):
    fluct = np.zeros(len(scales))
    for e, sc in enumerate(scales):
        fluct[e] = np.sqrt(np.mean(calc_rms(y, sc) ** 2))
    return fluct

def dfa(x, scale_lim=[5, 9], scale_dens=0.25, show=False):
    y = cumulative_sum(x)
    scales = (2 ** np.arange(scale_lim[0], scale_lim[1], scale_dens)).astype(int)
    fluct = calculate_fluctuations(y, scales)
    coeff = np.polyfit(np.log2(scales), np.log2(fluct), 1)
    if show:
        plt.loglog(scales, fluct, 'bo')
        plt.loglog(scales, 2 ** np.polyval(coeff, np.log2(scales)),
                   'r', label=r'$\alpha$ = %0.2f' % coeff[0])
        plt.title('DFA')
        plt.xlabel('log10(time window)')
        plt.ylabel('log10 <F(t)>')
        plt.legend()
        plt.show()
    return scales, fluct, coeff[0]

if __name__ == '__main__':
    import yfinance as yf

    # 下载比特币近 5 年的日线数据
    data = yf.download('BTC-USD', period='5y')

    # 计算每日收益率：(P_t - P_{t-1}) / P_{t-1}
    r = data['Close'].diff() / data['Close'].shift(1)
    r.dropna(inplace=True)

    # 运行 DFA 并绘图
    scales, fluct, alpha = dfa(r, show=True)
    print("Scales:", scales)
    print("Fluctuations:", fluct)
    print("DFA Exponent: {}".format(alpha))

运行结果：我们得到 。

这个略大于 0.5 的数值意味着比特币的收益率序列表现出持续性（persistent behavior）——也就是说，价格的上涨倾向于被更多的上涨跟随，下跌也倾向于被更多的下跌跟随，趋势具有一定的延续惯性。

延伸思考：0.57 离 0.5 并不算远，说明这种持续性其实相当微弱。在实盘中，单凭一个略大于 0.5 的标度指数就重仓押注趋势是很危险的。DFA 更适合作为研究市场结构、辅助判断策略类型（趋势型 vs 均值回归型）的工具，而非直接的买卖信号。

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总结

本文带你完整走过了 DFA 的四个核心步骤：累积求和 → 分段去趋势 → 计算波动函数 → 双对数拟合求标度指数。

核心要点回顾：

• • DFA 的最大价值在于：即使面对带趋势、非平稳的真实金融数据，它依然能稳健地刻画长程相关性。
• • 标度指数  是判断序列「记忆」的关键：小于 0.5 是均值回归，等于 0.5 是随机，大于 0.5 是趋势持续。
• • 在比特币的实例中，，揭示出微弱但确实存在的趋势持续性。

掌握 DFA，你就拥有了一把分析时间序列内在结构的趁手工具。不妨把它套用到你关注的股票、外汇或其他资产上，看看它们各自的「记忆」如何。

参考文章

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