全文链接：https://tecdat.cn/?p=38463

作为深度学习在随机过程应用中的一般性贡献，我们算法所使用的受限交易策略集足够大，可以对任何最优解进行ϵ-近似。我们的算法即使在高维情况下也可以使用现代机器学习工具高效实现。其结构不依赖于特定的市场动态，并且可以推广到包括使用流动性衍生品在内的各种套期保值工具。其计算性能在很大程度上与投资组合的规模无关，因为它主要取决于可用套期保值工具的数量。我们通过在由Heston模型驱动的合成市场中展示交易成本对套期保值的影响来说明我们的方法，在该市场中我们优于标准的“完全市场”解决方案。

一、引言

衍生品投资组合的定价和套期保值问题对于金融证券行业的定价风险管理至关重要。在理想化的无摩擦和“完全市场”模型中，数学金融通过风险中性定价和套期保值为该问题提供了一种易于处理的解决方案。最常见的是，在这类模型中仅对主要资产（如股票）和少数其他因素进行建模。可以说，对于股票模型最成功的此类模型是Dupire的局部波动率模型[Dup94]。本质上，这些模型被用作套期保值工具的一种低维插值形式。在完全市场假设下，衍生品投资组合的定价和风险是线性的。

然而，在实际市场中，任何工具的交易都受到交易成本、永久性市场冲击和流动性约束的影响。此外，任何交易部门通常还受到其风险和压力承受能力的限制，或者更一般地说，受到资本的限制。这也意味着定价和风险不是线性的，而是取决于整个投资组合：在特定方向上降低风险的新交易可以更优惠地定价。这被称为具有“偏好”。

“完全市场”模型的普遍使用是由于缺乏有效的替代方案；即使在过去几年中在例如超级套期保值方面取得了令人瞩目的进展，仍然很少有解决方案能够在大量工具的投资组合上很好地扩展，并且不依赖于基础市场动态。

我们的深度套期保值方法解决了这一不足。本质上，我们将套期保值策略中的交易决策建模为神经网络；它们的特征集不仅包括我们套期保值工具的价格，还可能包含其他信息，如交易信号、新闻分析或过去的套期保值决策。

这种深度套期保值策略可以以非常高效的方式进行描述和训练（用经典语言来说就是优化），而相应的算法完全是无模型的，并且不依赖于所选的市场动态。这意味着我们可以纳入市场摩擦，如交易成本、流动性约束、买卖价差、市场冲击等，所有这些都可能取决于场景的特征。

高级优化器然后找到相当好的策略，以在所述目标下实现良好的样本外套期保值性能。在我们的示例中，我们针对半递归强化学习问题使用梯度下降“Adam”[KB15]小批量训练。

为了说明我们的方法，我们将基于[IAR09]和[FL00]中的思想，并在凸风险度量下优化衍生品投资组合的套期保值。为了能够将我们的结果与经典的完全市场结果进行比较，我们在本文中选择使用Heston模型驱动市场。

二、相关文献

关于在有摩擦的市场模型中进行套期保值的文献非常丰富。我们仅强调一些以展示该问题的复杂性。例如，[RS10]研究了一个市场，在其中交易一种证券会对其价格产生（暂时）影响。价格过程由一维Black-Scholes模型建模。最优交易策略可以通过求解一个由三个耦合（非线性）偏微分方程组成的系统来获得。在[PBV17]中，针对Bachelier模型进行了一个更一般的跟踪问题（涵盖了暂时价格影响套期保值问题），并为该策略获得了一个封闭形式的解（涉及对最优无摩擦套期保值策略的时间积分的条件期望）。[HMSC95]证明，在具有比例交易成本的Black-Scholes市场中，欧式看涨期权的最便宜超套期保值价格是基础资产的现货价格。因此，在一维情况下，超复制的概念对从业者来说意义不大。在高维情况下，它存在数值上难以处理的问题。

众所周知，深度前馈网络满足通用逼近性质，例如见[Hor91]。为了更好地理解它们为什么在逼近套期保值策略方面如此有效，我们依赖于[HBP17]中非常新且引人入胜的结果，其可以表述如下：它们量化了允许在规定误差内逼近预定义函数类中的所有元素所需的最小网络连通性，这在逼近网络的连通性和被逼近的函数类的复杂性之间建立了一种通用联系。建立了一个将关于表示系统的最优MM-项逼近结果转换为神经网络的最优MM-边逼近结果的抽象框架。这些转换结果适用于可由神经网络表示的字典，并且[HBP17]还表明，一大类表示系统，即仿射系统，包括作为特殊情况的小波、脊波、曲波、剪切波、αα-剪切波以及更一般的αα-分子及其张量积，都可由神经网络表示。这些结果为神经网络的“不合理有效性”提供了一种解释：它们有效地结合了所有仿射系统的最优逼近性质。在我们的深度套期保值策略应用中，这意味着：理解可以有效地写出最优套期保值策略的相关输入因素。在金融领域中，强化学习有几个相关应用也面临类似的挑战，我们想强调其中两个相关的方向：第一个是在经典投资组合优化中的应用，即在没有期权且假设所有套期保值工具的市场价格都可用的情况下。与我们的设置一样，这个问题需要使用非线性目标函数，例如见[MW97]或[ZJL17]。强化学习的第二个有前景的应用是在算法交易中，例如[DZL09]和[Lu17]等几位作者已经展示了有希望的结果。

本文的新颖之处在于我们首先涵盖了衍生品，特别是场外衍生品，它们没有可观察的市场价格。例如，[Hal17]仅在Black&Scholes假设下且没有交易成本的情况下，使用Q学习涵盖了仅使用股票价格的套期保值。

这使我们的文章坚定地处于在有摩擦成本的不完全市场中对或有债权进行定价和风险管理的领域。关于此类市场的定量金融的一般介绍是[FS16]。

三、基于凸风险度量的定价与套期保值

在理想化的连续时间交易、无交易成本且套期保值无约束的完全市场中，对于任意负债Z，存在唯一的复制策略δ以及公平价格p₀∈R，使得 -Z + p₀ + (δ·S)ₜ - Cₜ(δ) = 0在P - 几乎必然意义下成立。但在我们当前的设定中并非如此。

在存在摩擦的不完全市场中，投资者必须指定一个最优性标准，该标准为任意头寸定义一个可接受的“最低价格”。这样的最低价格将是我们为实施最优套期保值而需添加到头寸中的最小现金量，从而使得整体头寸在考虑各种成本和约束的情况下变得可接受。

在此，我们专注于如[Xu06]和[IAR09]中所研究的凸风险度量下的最优性。在动态设定方面，另见[KS07]及其中的更多参考文献。凸风险度量在[FS16]中有详细讨论。

在不完全市场中，由于交易成本、流动性约束等因素的存在，传统的完全市场定价与套期保值理论不再适用。凸风险度量为处理这类复杂情况提供了一种有效的框架。它能够综合考虑各种风险因素以及市场摩擦，从而确定一个更为合理的价格和套期保值策略。例如，在考虑交易成本时，凸风险度量可以权衡交易成本与风险降低之间的关系，使得投资者能够在成本可控的前提下，尽可能地降低风险暴露。通过对凸风险度量的深入研究和应用，可以为金融市场中的投资者提供更具针对性和实用性的决策依据，帮助他们更好地应对市场的不确定性和复杂性，实现资产的保值增值。

四、通过深度神经网络逼近套期保值策略

Deep Hedging模型的神经网络部分并不复杂，甚至相对一些著名的用于图像识别的神经网络，都不能算是深（Deep)。网络只有两层，都是全连接层（Fully Connected Layer），各有15个神经元。再加上一个输入层，一个输出层，共四层。

为了比较神经网络策略与基准模型，我们选择网络输入为Ik = (log(Sk1); Vk)。也可以将Vk替换为Sk2。在时间步tk的网络结构如图1所示。