(糙版)编程数学11:代数基础
(糙版)编程数学11:代数基础
本章内容:
1：初等代数的内容
2：单项式和多项式
3：一元一次方程
4：一元二次方程
5：二元一次方程组
6：不定方程(组)
7：线性方程组
8：矩阵
1：初等代数的内容
代数，是研究数、数量、关系、结构与代数方程（组）的通用解法及其性质的数学分支。初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。在其中我们只关心各种关系及其性质，而对于“数本身是什么”这样的问题并不关心。代数（algebra），是由算术（arithmetic）演变来的，这是毫无疑问的。至于什么年代产生的代数学这门学科，就很不容易说清楚了。三类方程——整式方程、分式方程、无理方程（统称代数方程），以及由有限多个代数方程联立而成的代数方程组。五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；两条等式基本性质：等式两边同时加（减）上一个数，等式不变；等式两边同时乘（除）以一个非零的数，等式不变；三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方等于乘方的积。方程的英文名称是equation,这个单词还有另外一个含义"等式"。因此,方程就是等式,就是若干个量满足的一个或一些等式。在这些等式中,有些量是已知的,另一些量是要我们求解的。这就是初等代数要研究的内容。初等代数从最简单的一元一次方程开始,一方面进而讨论二元及三元的一次方程组,一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。2：单项式和多项式
单项式:由数和未知量的乘积组成的代数式称为单项式。单独的一个数或一个未知量也构成了单项式。单项式中的数字因数称为这个单项式的系数,一个单项式中,所有未知量的指数的和称为这个单项式的次数。几个单项式的和或者差,称为多项式。多项式中的每个单项式称为多项式的项,这些单项式中的最高项次数,就是这个多项式的次数。多项式中不含未知量的项称为常数项。整式是有理式的一部分,在有理式中可以包含加、减、乘、除、乘方五种运算,但在整式中分母不能含有未知量。3：一元一次方程
只含有一个未知量,且未知量的最高次数是1,等号两边都是整式,这样的方程称为一元一次方程。一般形式是:ax+b=0(a≠0)。ax = b(a ≠ 0)。使得一元一次方程左右两边相等的未知量的值称为一元一一次方程的解,也称为一元一次方程的根。4：一元二次方程
通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）。一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0，其中是ax²二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根（root）。当Δ<0时,方程ax²+bx+c=0(a≠0)没有实数根。当Δ=0时,方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根。当Δ>0时,方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根。5：二元一次方程组
含有两个未知数、且未知数对应项的次数为1的整式方程，叫作二元一次方程。单独的二元一次方程是不定方程，若干二元一次方程组成的方程组可能有唯一解。求解二元一次方程组一般采用消元法或克莱姆法则。二元一次方程在几何上与平面中的直线是对应的。二元一次方程组的解在几何上是若干直线的交点。二元一次方程，设未知数为x,y，常数a,b≠0，常数c为实数，那么二元一次方程具有形式：ax+by+c=0 或形式：ax+by=c把具有两个未知数的至少两个（很多时候恰为两个）一次整式方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。设未知数为x,y，常数a₁,a₂,b₁,b₂，其中a₁,a₂不同时为零，b₁,b₂不同时为零，那么由两个方程构成的二元一次方程具有形式：二元一次方程组的解的情况有三种：无解、有唯一解、有无数个解。6：不定方程(组)
所谓不定方程(组)就是未知量的个数多于方程的个数的方程(组),其特点是解往往有多个,不能惟一确定。不定方程又名丢番图方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式；即形式如下图的方程，其中所有的aᵢ、bᵢ和c均是整数，若其中能找到一组整数解m₁,m₂...mₙ则称之有整数解。7：线性方程组
线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组（例如2元1次方程组）。8：矩阵
具体来说,m*n个数aᵢⱼ(i=1,2, ...,m;j=1,2, i...,n)排列成的知拒形数表,称为m*n矩阵。其中横排称为矩阵的行,纵排称为矩阵的列。矩阵中的每每个数都称为矩阵的元素。矩阵是数学上的概念,在程序中就是用二维数组来实现的的。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合 ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。矩阵运算在科学计算中非常重要 ，而矩阵的基本运算包括矩阵的加法，减法，数乘，转置，共轭和共轭转置。还有矩阵乘法运算和行列式。(2)矩阵数乘
矩阵数乘运算律
(3)矩阵转置
(4)矩阵共轭
(5)矩阵共轭转置
两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵,它们的乘积C是一个m×p矩阵C=(cᵢⱼ),并将此乘积记为:C=AB矩阵是高等代数学中的常见工具，更多知识点不一一细数
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