基于Python语言的阿贝成像原理与空间滤波实验的数字化改进

随着计算机技术的发展，信息的价值日渐提高，信息的数字化也愈发被人所重视。中共中央、国务院印发的《数字中国建设整体布局规划》指出，建设数字中国是数字时代推进中国式现代化的重要引擎，是构筑国家竞争新优势的有力支撑。

教育，作为中国式现代化重要的一环，同样对数字化有着迫切的需求。2022 年全国教育工作会议便提出“实施国家教育数字化战略行动”。2023 年全国教育工作会议又提出“纵深推进教育数字化战略行动”^［1］。2024 年全国教育工作会议进一步提出“不断开辟教育数字化新赛道。坚持应用为王走集成化道路，以智能化赋能教育治理，拓展国际化新空间，引领教育变革创新”^［2］。习近平总书记指出“教育数字化是我国开辟教育发展新赛道和塑造教育发展新优势的重要突破口。”而推进教育数字化，最终也会为实验增效、促进实验实践创新^［3］。同时，实验数字化也具有实验手段自动化，数字化、现象规律可视化、实验内容的扩大化等优越性^［4］。

而在经典物理实验中，阿贝成像原理和空间滤波是一个重要的普通物理光学实验^［5-6］。作为傅里叶光学的一个经典实验，其对于理解傅里叶光学空间频率、空间频谱、空间滤波等概念，熟悉阿贝成像原理，了解透镜孔径对成像分辨率的影响以及现代光学信息处理技术有十分重要的意义 ^{[ 7 - 8 ]}。同时对通过改造频谱实现处理信息的行为实现了较好的验证与演示^［9］。

本文以 Python 语言^［10］为基础，对阿贝成像原理和空间滤波实验进行数字化改进，模拟光束在实验过程中，通过光栅的傅里叶变换后的成像；用 Python 语言模拟滤波器，将滤波器与一次傅里叶变换后的图像叠加，并模拟滤波后衍射成像；利用模拟结果，通过激光雕刻机雕刻实验中所需的光栅，并将成果应用于实验的光路中，得到在狭缝处于水平与竖直方向时成的不同的滤波图像。

1 阿贝成像原理与空间滤波实验

1807 年，让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶(Bar-on Jean Baptiste Joseph Fourier)在提交的论文《热的传播》中，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出：任意函数都可以展开成三角函数的无穷级数。傅里叶级数、傅里叶分析等理论均由此创始。傅里叶的理论指出，任意时间域的函数 f(t) 可以表示为频率域的函数 F(ω) 的的积分，

1893 年，恩斯特·卡尔·阿贝(Ernst KarlAbbe)在提高显微镜的分辨本领的过程中，以波动光学中衍射和干涉的原理来解释显微镜的成像的过程，提出了一种新的相干成象的原理。按照阿贝理论,物体可以看作是一个二维衍射光栅，当用单色平面波照明该物体时，发生夫琅禾费衍射，在显微镜的后焦面上形成物体的夫琅禾费衍射图样^［7］。而事实上，阿贝成像原理的第一个成像步骤实际上是将衍射物的结构进行分解，并将分解出来的各种基本成分呈现在透镜后焦面上的不同坐标处。这样，透镜后焦面上每个点发出的子波都对应于衍射物本身结构的一个基本成分，这些子波的波前在像面上叠加，将透镜后焦面分解呈现的信息再综合在一起，合成衍射物的像，即完成阿贝成像原理的第二个步骤。两个成像步骤分别体现的“分解”与“合成”实际上就是光学傅里叶变换。对于任意的物体，将其表示为函数 g ( x , y )，则其傅里叶变换的过程即为

有不同空间频率的成分，其傅里叶变换决定各成分占的权重，具有空间频谱的意义。

阿贝成像原理与空间滤波实验光路图如图 1 所示，构建好光路后，各个光学元件的位置就可以保持不变，只通过更换光栅，调整狭缝来观察光屏上像的变化。

2 数字化改进

Python 语言可以用可视化的图像模拟阿贝成像原理与空间滤波实验光栅、狭缝以及傅里叶变换的像。模拟出的图像将实验中的光束转化为图像中各个像素点的数值。光束穿过光栅、狭缝的过程中，任意位置只存在透光和不透光两个状态，因此数字化模拟图像以二值图表示，即单个像素表示为 0 或 1 ，即黑或白两种状态，其中黑色部分代表光被挡住，白色部分代表光可以正常通过。

光束做傅里叶变换过程中，由于光源为单色光，任意位置间只有光强差而无频率差，因此数字化模拟图像可以用灰度图表示，即单个像素表示为 0～255 的单个数值，以对应不同的光强，数值越高，像素越白，对应的光强也越高。光束经一次傅里叶变换后通过狭缝的滤波过程中，一次傅里叶变换后图像若与狭缝（滤波器）图像中黑色部分重合，则光束被滤掉，此时像素的数值变为 0，与白色部分重合，则光束通过，此时像素数值不变。而此过程的数字化模拟输出的图像中则表示为像素数值相乘。

对阿贝成像原理与空间滤波实验的数字化改进有诸多优势，首先在于可以个性化、批量化生成光栅与狭缝，并对实验进行模拟。在许多应用场景中，需要多次对光栅或狭缝作调整来观察傅里叶变换图像的变化，数字化改造后可以快速调整参数并观察到结果。

将 1000x1000 像素大小的南开大学校徽转化为光栅，校徽图像中就含有大量不连接的部分，然后生成大小同样为 1000x1000  像素，中间有不同孔径的圆圈的一系列低通滤波器如图 2（a）所示，将光栅与各个滤波器分别叠加，并对叠加结果作变换，生成的傅里叶变换图像如图 2（b）所示。数字化模拟结果表明，校徽图像可以同其他光栅一样置入数字化模拟实验中。随着光栅孔径的增大，图像越发清晰，表明起塑造形状作用的高频光通过的越多。

使用这种方法的优势在于，可以用于制作一些有特殊要求的复杂光栅。以字母“N”和字母“K”的结合及后续变换为例。其具体过程为首先分别生成黑底白字的字母“N”和字母“K”的图片，然后分别将两个字母与两个互相垂直的光栅叠加，做成两个互相垂直的字母光栅的形式，然后叠加，将叠加后的光栅置入阿贝成像原理与空间滤波实验中，只调整狭缝，其中一个方向的光栅允许光通过，在光屏上留下光栅图像的同时，另一部分与之垂直的光栅无光通过，不在光屏上产生图像。这样，连续旋转狭缝，就可以使傅里叶变换图像由一个图片向另一个改变。

由于光栅的存在，两个字母的相同部分与不同部分要遵循不同的叠加规则，对于二者都是黑色的部分，叠加后也是黑色，白色的部分叠加后也是白色，但一个字母为黑色一个字母为白色的地方不同，在二者相同的部分，一个字母上的黑色光栅部分是要覆盖白色图案的，但在二者不同的部分则恰恰相反，直接叠加会生成不完善的光栅如图 3（a）所示，数字化模拟结果表明，两个字母重合部分没有将黑色的不透光部分按照预期进行叠加。因此要记录二者不同部分的这一中间量，将其连续与两个字母叠加后再与两字母的叠加反相相加，才能得到能正确用于实验中的图像。如图 3（d）所示。在狭缝与傅里叶变换的结果叠加时，如果狭缝不做额外的处理，同样不能得到正确的像。数字化模拟结果表明，中心亮点的存在，其中一个方向的光栅正常成像的同时垂直方向的光栅会以无光栅条纹的形式呈现在光屏上，导致不能分辨出哪一部分为所需要的像，如图 3（b）、（c）所示，而遮住中心一部分，即可得到改进后的图像如图 3（e）、（f）所示。

数字化模拟结果表明，只旋转狭缝的角度，通过改变狭缝水平与竖直的角度，就可以使傅里叶变换的图像从字母“N”和字母“K”之间切换。

需要注意，使用 Python 语言数字化模拟过程中，本文涉及的内容中，最后均输出“.bmp”形式的图像，以保证每个像素的数值足够精准。需要注意的是，“.jpg”形式的图片在保存时会进行压缩，使一部分点的像素发生轻微偏差，这种偏差在傅里叶变换中会尤为明显，由此变换后的图像会产生变化。

3 实验验证

使用生成光栅并输出为图片，将图片放入到激光雕刻仪的程序中进行雕刻。其中雕刻相关仪器包括激光雕刻机（型号 MF-E-A，光纤激光器，20W），雕刻材料为黑色样板铁片。雕刻完成后，即可将雕刻出的光栅放在阿贝成像原理与空间滤波实验的光路中进行验证。

根据实验内容，正确摆放实验装置，如图4所示，其中实验器材包括光具座，GY-10 型 He-Ne 激光器，扩束镜，凸透镜，可变旋转狭缝，光屏。叠加好光路后，激光源、扩束镜、凸透镜和光屏的位置就可以保持不变，只通过更换光栅，调整狭缝来观察光屏上成像的变化。

设计出网状光栅如图 5（a）所示，利用激光雕刻机雕刻的光栅图样如图 5（b）所示，光路中不存在狭缝的情况下光栅在光屏上成像如图 5（c）所示。然后在光路中加入狭缝，并旋转狭缝的角度，观察光屏上的像随狭缝角度发生的变化，分别得到狭缝处于竖直位置时的实验图像图 5（d）、狭缝处于水平位置时的实验图像图 5（e）以及狭缝处于 45 度倾斜位置时的实验图像图 5（f），将结果与对应的数字化模拟图像如图 5（g）～（i）相比，实验结果表明，生成的光栅可以被正常雕刻出并投入使用，并且实验结果与数字化模拟结果相一致。

打印得到“N-K”叠加图的光栅如图 6（a）所示，将光栅放入光路中，旋转狭缝使其位于水平位置，结果到效果图 6（b）所示；旋转狭缝使其位于竖直位置，结果到效果图 6（c）所示。实验结果表明，通过激光雕刻机雕刻实验中所需的“N-K”叠加光栅，并将成果应用于实验的光路中，得到在狭缝处于水平与竖直方向时成的不同的像光屏上正确呈现了随狭缝旋转而“N、K”交替出现的像。

4 总结与展望

本文以 Python 语言为基础，对阿贝成像原理和空间滤波实验进行数字化改进，模拟光束在实验过程中，通过光栅的傅里叶变换后的成像。利用模拟结果，通过激光雕刻机雕刻实验中所需的光栅，并将成果应用于实验的光路中，得到在狭缝处于水平与竖直方向时成的不同的像。

理论与实验结果表明，计算机可以准确地计算并得出所需的图形变换，并用激光雕刻机将结果准确地复现。一方面，在雕刻前用计算机模拟结果，可以多次大量地控制各种参数来观察结果的变化，灵活性更高，另一方面计算后进行雕刻也很大程度上避免了材料的浪费。通过本实验的改进可以加深对阿贝成像的理解，推进了物理实验数字化。将光栅进行数字化技术在滤波器、光栅传感、光栅衍射以及光栅光谱等方向有重要的研究价值。

参考文献

基金项目：教育部高等学校大学物理课程教学指导委员会教学研究项目（DWJZW202209hb）；教育部产学合作协同育人项目（230802116122225）；南开大学教学改革项目资助。

通信作者：陈宗强，chenzongqiang＠nankai.edu.cn。