凸优化问题的求解，在实际问题中还是有很多应用场景的，我在CVX，免费开源的凸优化建模MATLAB工具包介绍了其在MATLAB，功能齐全的工程计算软件中的应用. 然而，我发现CVX在python中更新频率很快，而在matlab中的更新却慢太多了，于是就整个cvxpy的介绍.

CVXPY 是一种嵌入在 Python 中的凸优化问题建模语言。

它会自动将问题转换为标准形式，调用求解器，并解包结果。

CVXPY 的官方文档位于 cvxpy.org。

简介

CVXPY 是一个嵌入在 Python 中的凸优化问题建模语言。它允许你以自然的、数学化的方式表达优化问题，而无需受限于求解器要求的标准形式。

例如，以下代码求解一个带上下界约束的最小二乘问题：

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import cvxpy as cpimport numpy# 问题数据m = 30n = 20numpy.random.seed(1)A = numpy.random.randn(m, n)b = numpy.random.randn(m)# 构建问题x = cp.Variable(n)objective = cp.Minimize(cp.sum_squares(A @ x - b))constraints = [0 <= x, x <= 1]prob = cp.Problem(objective, constraints)# prob.solve() 返回最优目标函数值result = prob.solve()# x.value 存储最优解向量print(x.value)# 约束的最优拉格朗日乘子存储在 constraint.dual_value 中print(constraints[0].dual_value)

使用 CVXPY，你可以建模以下类型的优化问题：

• • 凸优化问题（convex optimization problems）
• • 混合整数凸优化问题（mixed-integer convex optimization problems）
• • 几何规划（geometric programs）
• • 准凸规划（quasiconvex programs）

值得注意的是，CVXPY 本身不是求解器，它仅仅是提供了一种建模语言，需要依赖以下开源求解器：常用的开源免费求解器

• • 优化求解器介绍系列之八：HiGHS（MIP的首选开源免费求解器）.
• • 优化求解器介绍系列之三十二：COSMO.
• • 优化求解器介绍系列之六十四：Clarabel.-优化求解器介绍系列之五十五：SCS

学术授权或购买的商业优化求解器

• • 优化求解器介绍系列之五：Gurobi（全类型优化问题的全局求解器）
• • 优化求解器介绍系列之二十八：MOSEK（MISDP/MISOCP的高性能求解器）
• • **优化求解器介绍系列之二：COPT（国产学术免费的求解器^[1]）**

CVXPY 起源于斯坦福大学的一个研究项目，如今由来自世界各地的研究人员和工程师共同维护和改进。

安装（Installation）

CVXPY 可在 PyPI 上获取，通过以下命令安装：

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pip install cvxpy

也可以通过 conda 安装：

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conda install -c conda-forge cvxpy

CVXPY 依赖以下组件：

• • Python ≥ 3.11
• • Clarabel ≥ 0.5.0
• • OSQP ≥ 1.0.0
• • SCS ≥ 3.2.4.post1
• • NumPy ≥ 2.0.0
• • SciPy ≥ 1.13.0
• • highspy ≥ 1.11.0

详细安装说明请参见官方 Installation Guide（安装指南）^[2]。

入门（Getting Started）

若你初次接触 CVXPY，可参考以下资源：

• • 官方 CVXPY 教程（official tutorial）^[3]
• • 示例库（example library）^[4]
• • API 参考文档（API reference）^[5]

社区（Community）

CVXPY 社区由来自全球的研究人员、数据科学家、软件工程师和学生组成，诚邀你的加入！

• • 若希望与社区实时交流，请加入我们的 Discord^[6] 服务。
• • 若希望进行更深入的讨论，请使用 GitHub Discussions^[7]。
• • 若要报告缺陷或提出功能建议，请使用 GitHub Issues^[8]。

请文明交流，遵守社区的行为准则（code of conduct）^[9]。

贡献（Contributing）

首先，请通过源码安装 CVXPY。之后，你可以从以下方式开始贡献：

• • 阅读源码，改进文档，解决 TODO 项；
• • 改进网站文档；
• • 浏览 issue 列表，寻找标记为 “help wanted” 的问题；
• • 优化示例库；
• • 添加性能基准测试（benchmark）。

若你希望向示例库添加新示例或实现新功能，请先与我们沟通，以确保方向一致。所有贡献均应以 pull request（拉取请求） 提交。

CVXPY 开发团队成员将审阅并指导你完成。

开始贡献前，请阅读 贡献指南（contributing guide）^[10]。

团队（Team）

CVXPY 是一个社区驱动的项目，由众多研究者和工程师共同开发、维护与完善。

主要维护者包括：

• • Steven Diamond
• • Akshay Agrawal
• • Riley Murray
• • Philipp Schiele
• • Bartolomeo Stellato
• • Parth Nobel

此外，长期以来对项目有重要贡献的人员还包括：

Stephen Boyd、Eric Chu、Robin Verschueren、Jaehyun Park、Enzo Busseti、AJ Friend、Judson Wilson、Chris Dembia、William Zhang 等。

更多关于团队及管理流程的信息，请参阅 文档governance document^[11]。

实例演示

下面的代码展示了如何在 CVXPY 中求解一个简单的优化问题^[3]：

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import cvxpy as cp# 创建两个标量优化变量x = cp.Variable()y = cp.Variable()# 创建两个约束条件constraints = [x + y == 1,               x - y >= 1]# 构造目标函数obj = cp.Minimize((x - y)**2)# 构造并求解问题prob = cp.Problem(obj, constraints)prob.solve()  # 返回最优值print("status:", prob.status)print("optimal value", prob.value)print("optimal var", x.value, y.value)

输出：

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status: optimaloptimal value 0.999999999761optimal var 1.00000000001 -1.19961841702e-11

由求解方法返回的 status 值为 “optimal”，表示该问题已成功求解。最优值（即这里的 1）表示在遵守约束条件的前提下，目标函数的最小值。最后输出的是实现该最优解的变量值（此例中，x ≈ 1，y ≈ 0）。

• • prob.solve() 会返回最优值，并更新 prob.status,
• • prob.value，以及问题中所有变量的 value 属性。

修改问题

问题对象是不可变的（immutable），也就是说，一旦创建便不能修改。若要更改目标函数或约束，需要创建一个新的问题对象。

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# 替换目标函数prob2 = cp.Problem(cp.Maximize(x + y), prob.constraints)print("optimal value", prob2.solve())# 替换约束条件 (x + y == 1)constraints = [x + y <= 3] + prob2.constraints[1:]prob3 = cp.Problem(prob2.objective, constraints)print("optimal value", prob3.solve())

输出：

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optimal value 1.0optimal value 3.00000000006

不可行与无界问题

如果问题不可行（infeasible）或无界（unbounded），status 字段分别设为 "infeasible" 或 "unbounded"。在这种情况下，变量的值不会被更新。

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import cvxpy as cpx = cp.Variable()# 一个不可行的问题prob = cp.Problem(cp.Minimize(x), [x >= 1, x <= 0])prob.solve()print("status:", prob.status)print("optimal value", prob.value)# 一个无界的问题prob = cp.Problem(cp.Minimize(x))prob.solve()print("status:", prob.status)print("optimal value", prob.value)

输出：

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status: infeasibleoptimal value infstatus: unboundedoptimal value -inf

注意，对于一个最小化问题：

• • 如果问题不可行，最优值为 inf
• • 如果问题无界，最优值为 -inf而对于最大化问题则相反。

其他状态

如果求解器成功但精度低于期望，状态会反映这种“低精度”情形，包括：

• • optimal_inaccurate
• • unbounded_inaccurate
• • infeasible_inaccurate

对于这些情况，变量仍会被更新为相应的解。

若求解器完全失败，CVXPY 会抛出 SolverError 异常。此时应尝试其他求解器（参见“求解器”部分的详细讨论）。

CVXPY 提供以下常量作为状态字符串的别名：

• • OPTIMAL
• • INFEASIBLE
• • UNBOUNDED
• • OPTIMAL_INACCURATE
• • INFEASIBLE_INACCURATE
• • UNBOUNDED_INACCURATE
• • INFEASIBLE_OR_UNBOUNDED

判断问题是否成功求解，可使用：

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prob.status == OPTIMAL

INFEASIBLE_OR_UNBOUNDED 状态较罕见，表示求解器只能确定问题要么不可行、要么无界，但无法辨别具体是哪种情况。此时可以通过将目标函数改为常数（例如 cp.Minimize(0)）重新求解：

• • 若新问题仍给出 INFEASIBLE_OR_UNBOUNDED，原问题为不可行；
• • 若新问题为 OPTIMAL，则原问题为无界。

向量与矩阵

变量可为标量、向量或矩阵，即分别为 0、1、2 维。

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# 标量变量a = cp.Variable()# 向量变量（长度 5）x = cp.Variable(5)# 列向量（维度为 (5, 1)）x = cp.Variable((5, 1))# 矩阵变量（维度为 (4, 7)）A = cp.Variable((4, 7))

你可以使用任意数值库构造向量与矩阵常量，如 NumPy 的 ndarray 或 SciPy 稀疏矩阵等。

CVXPY 支持下列类型作为常量：

• • NumPy ndarray
• • SciPy 稀疏矩阵

示例如下（带向量和矩阵的优化问题）：

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# 解一个有界最小二乘问题import cvxpy as cpimport numpy as npm = 10n = 5numpy.random.seed(1)A = np.random.randn(m, n)b = np.random.randn(m)x = cp.Variable(n)objective = cp.Minimize(cp.sum_squares(A @ x - b))constraints = [0 <= x, x <= 1]prob = cp.Problem(objective, constraints)print("Optimal objective value", prob.solve())print("Optimal variable value")print(x.value) # 一个 NumPy 向量

输出：

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Optimal objective value 4.14133859146Optimal variable value[ -5.11480673e-21   6.30625742e-21   0.134643668   0.124976681  -4.79039542e-21]

约束条件

如上例所示，你可以用 ==, <=, >= 构造约束。无论是标量、向量还是矩阵，等式与不等式约束皆逐项作用。例如，0 <= x 与 x <= 1 表示 x 的每个元素都在 0 到 1 之间。

若要表示半正定矩阵约束，请参照“半正定矩阵”部分。

不能使用 < 或 > 构造严格不等式，因为在现实问题中没有意义；也不能链式写约束（如 0 <= x <= 1），Python 解释器不会让 CVXPY 捕获该结构。

参数（Parameters）

参数是常量的符号化表示。通过参数能改变问题中常量的值，而无需重建整个问题。这种机制能显著加速重复求解过程（参阅 Disciplined Parametrized Programming 相关教程）。

定义参数时，可指定其属性（非负、非正、对称等）。参数创建后可被赋值，但其维度及属性必须与初始化时一致。

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# 非负标量参数m = cp.Parameter(nonneg=True)# 含未知符号的列向量参数c = cp.Parameter(5)# 含非正元素的矩阵参数G = cp.Parameter((4, 7), nonpos=True)G.value = -np.ones((4, 7))

参数可在创建时赋初值：

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# 两种等效方式rho = cp.Parameter(nonneg=True)rho.value = 2rho = cp.Parameter(nonneg=True, value=2)

一个典型用例是计算 LASSO 问题的正则化折衷曲线：

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import cvxpy as cpimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltn = 15m = 10np.random.seed(1)A = np.random.randn(n, m)b = np.random.randn(n)gamma = cp.Parameter(nonneg=True)x = cp.Variable(m)error = cp.sum_squares(A @ x - b)obj = cp.Minimize(error + gamma * cp.norm(x, 1))prob = cp.Problem(obj)sq_penalty = []l1_penalty = []x_values = []gamma_vals = np.logspace(-4, 6)for val in gamma_vals:    gamma.value = val    prob.solve()    sq_penalty.append(error.value)    l1_penalty.append(cp.norm(x, 1).value)    x_values.append(x.value)plt.figure(figsize=(6,10))plt.subplot(211)plt.plot(l1_penalty, sq_penalty)plt.xlabel(r'\|x\|_1', fontsize=16)plt.ylabel(r'\|Ax-b\|^2', fontsize=16)plt.title('LASSO 折衷曲线', fontsize=16)plt.subplot(212)for i in range(m):    plt.plot(gamma_vals, [xi[i] for xi in x_values])plt.xscale('log')plt.xlabel(r'\gamma', fontsize=16)plt.ylabel(r'x_{i}', fontsize=16)plt.title(r'x_i 与 \gamma 的关系', fontsize=16)plt.tight_layout()plt.show()

此外，可使用多进程并行地计算多个参数取值下的解：

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from multiprocessing import Pooldef get_x(gamma_value):    gamma.value = gamma_value    result = prob.solve()    return x.valuepool = Pool(processes=1)x_values = pool.map(get_x, gamma_vals)

自定义标签（Custom Labels）

可以为表达式和约束条件设置自定义标签，以便调试和模型解释。通过 set_label() 或 .label 属性赋予标签。

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import cvxpy as cpimport numpy as npweights = cp.Variable(3, name="weights")constraints = [    (weights >= 0).set_label("non_negative_weights"),    (cp.sum(weights) == 1).set_label("budget_constraint"),    (weights <= 0.4).set_label("concentration_limits")]mu = np.array([0.08, 0.10, 0.07])Sigma = np.array([[0.10, 0.02, 0.01],                  [0.02, 0.08, 0.03],                  [0.01, 0.03, 0.09]])expected_return = (mu @ weights).set_label("expected_return")risk = cp.quad_form(weights, Sigma).set_label("risk")objective = cp.Minimize(risk - 0.5 * expected_return)problem = cp.Problem(objective, constraints)print(problem.format_labeled())

输出：

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minimize risk + -0.5 @ expected_returnsubject to non_negative_weights: 0.0 <= weights           budget_constraint: Sum(weights, None, False) == 1.0           concentration_limits: weights <= 0.4

标签是动态的，可在建模后修改：

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risk.label = "portfolio_risk"print(problem.format_labeled())

输出：

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minimize portfolio_risk + -0.5 @ expected_returnsubject to non_negative_weights: 0.0 <= weights    budget_constraint: Sum(weights, None, False) == 1.0    concentration_limits: weights <= 0.4

公众号《博優旮旯-BOYOGALA》^[12]，致力于让大家更专业、更完整和更系统地获取与了解数学（运筹与优化、数值分析）等相关数学知识分享！

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人类在思考 — 代表作：公众号排版数学公式的经验,200篇论文🆚1个优化求解器,盗版Windows系统🆚破解版LINGO18

数学是第三世界 — 代表作：数学研究需要师徒传承吗？函数梯度的可视化

引用链接

[1] 国产学术免费的求解器: https://www.shanshu.ai/copt[2] Installation Guide（安装指南）: https://www.cvxpy.org/install/index.html[3] 官方 CVXPY 教程（official tutorial）: https://www.cvxpy.org/tutorial/index.html[4] 示例库（example library）: https://www.cvxpy.org/examples/index.html[5] API 参考文档（API reference）: https://www.cvxpy.org/api_reference/cvxpy.html[6] Discord: https://discord.gg/4urRQeGBCr[7] GitHub Discussions: https://github.com/cvxpy/cvxpy/discussions[8] GitHub Issues: https://github.com/cvxpy/cvxpy/issues[9] 行为准则（code of conduct）: https://github.com/cvxpy/cvxpy/blob/master/CODE_OF_CONDUCT.md[10] 贡献指南（contributing guide）: https://github.com/cvxpy/cvxpy/blob/master/CONTRIBUTING.md[11] 文档governance document: https://github.com/cvxpy/org/blob/main/governance.md[12] 《博優旮旯-BOYOGALA》: https://www.cardopt.cn/api/images/1_1763724698_ce344a.png[13] www.boyogala.us.kg: http://www.boyogala.us.kg[14] boyogala@qq.com: mailto:boyogala@qq.com